Løs 3x+3y=24text{and}y=x+4

$$3 x + 3 y = 24 \text { and } y = x + 4$$

Løs for x, y

$$x=2$$

$$y=6$$

Fremgangsmåten ved bruk av innsetting

Vurder den andre formelen. Trekk fra x fra begge sider.

$$y-x=4$$

Hvis du vil løse et ligningspar ved hjelp av innsetting, løser du først en av ligningene for å få en variabel. Deretter setter du inn resultatet for denne variabelen i den andre ligningen.

$$3x+3y=24,-x+y=4$$

Velg én av ligningene, og løs den for x ved å isolere x på venstre side av likhetstegnet.

$$3x+3y=24$$

Trekk fra 3y fra begge sider av ligningen.

$$3x=-3y+24$$

Del begge sidene på 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-3y+24\right)$$

Multipliser \frac{1}{3} ganger -3y+24.

$$x=-y+8$$

Sett inn -y+8 for x i den andre formelen, -x+y=4.

$$-\left(-y+8\right)+y=4$$

Multipliser -1 ganger -y+8.

$$y-8+y=4$$

Legg sammen y og y.

$$2y-8=4$$

Legg til 8 på begge sider av ligningen.

$$2y=12$$

Del begge sidene på 2.

$$y=6$$

Sett inn 6 for y i x=-y+8. Fordi den resulterende ligningen inneholder bare én variabel, kan du løse x direkte.

$$x=-6+8$$

Legg sammen 8 og -6.

$$x=2$$

Systemet er nå løst.

$$x=2,y=6$$

Fremgangsmåten ved hjelp av matriser

Vurder den andre formelen. Trekk fra x fra begge sider.

$$y-x=4$$

Skriv ligningene i standardformat, og bruk matriser til å løse ligningssystemet.

$$3x+3y=24,-x+y=4$$

Skriv ligningen i matriseform.

$$\left(\begin{matrix}3&3\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\4\end{matrix}\right)$$

Venstremultipliser formelen med den inverse matrisen til \left(\begin{matrix}3&3\\-1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&3\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&3\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&3\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\4\end{matrix}\right)$$

Produktet av en matrise og dens inverse matrise er identitetsmatrisen.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&3\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\4\end{matrix}\right)$$

Multiplisere matriser på venstre side av likhetstegnet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&3\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\4\end{matrix}\right)$$

For 2\times 2-matrisen\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), er den inverse matrisen \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), så matriseformelen kan skrives om som matrisemultiplikasjon.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-3\left(-1\right)}&-\frac{3}{3-3\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{3-3\left(-1\right)}&\frac{3}{3-3\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\4\end{matrix}\right)$$

Gjør aritmetikken.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&-\frac{1}{2}\\\frac{1}{6}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\4\end{matrix}\right)$$

Multipliser matrisene.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 24-\frac{1}{2}\times 4\\\frac{1}{6}\times 24+\frac{1}{2}\times 4\end{matrix}\right)$$

Gjør aritmetikken.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\6\end{matrix}\right)$$

Trekk ut matriseelementene x og y.

$$x=2,y=6$$

Fremgangsmåten ved hjelp av eliminasjon

Vurder den andre formelen. Trekk fra x fra begge sider.

$$y-x=4$$

Hvis du vil løse ved eliminasjon, må koeffisienten til en av variablene være den samme i begge formlene, slik at variabelen elimineres når én ligning trekkes fra den andre.

$$3x+3y=24,-x+y=4$$

For å gjøre 3x og -x lik multipliserer du alle leddene på hver side av den første ligningen med -1 og alle leddene på hver side av den andre ligningen med 3.

$$-3x-3y=-24,3\left(-1\right)x+3y=3\times 4$$

Forenkle.

$$-3x-3y=-24,-3x+3y=12$$

Trekk fra -3x+3y=12 fra -3x-3y=-24 ved å trekke fra tilsvarende ledd på hver side av likhetstegnet.

$$-3x+3x-3y-3y=-24-12$$

Legg sammen -3x og 3x. Vilkårene -3x og 3x eliminerer hverandre, slik at vi får en formel med bare én variabel som kan løses.

$$-3y-3y=-24-12$$

Legg sammen -3y og -3y.

$$-6y=-24-12$$

Legg sammen -24 og -12.

$$-6y=-36$$

Del begge sidene på -6.

$$y=6$$

Sett inn 6 for y i -x+y=4. Fordi den resulterende ligningen inneholder bare én variabel, kan du løse x direkte.

$$-x+6=4$$

Trekk fra 6 fra begge sider av ligningen.

$$-x=-2$$

Del begge sidene på -1.

$$x=2$$

Systemet er nå løst.

$$x=2,y=6$$