Løs 3r^2-8r+1=0

$$3 r ^ { 2 } - 8 r + 1 = 0$$

Løs for r

$$r = \frac{\sqrt{13} + 4}{3} \approx 2,535183758$$

$$r=\frac{4-\sqrt{13}}{3}\approx 0,131482908$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$3r^{2}-8r+1=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 3 for a, -8 for b og 1 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$r=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 3}}{2\times 3}$$

Kvadrer -8.

$$r=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 3}}{2\times 3}$$

Multipliser -4 ganger 3.

$$r=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-12}}{2\times 3}$$

Legg sammen 64 og -12.

$$r=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{52}}{2\times 3}$$

Ta kvadratroten av 52.

$$r=\frac{-\left(-8\right)±2\sqrt{13}}{2\times 3}$$

Det motsatte av -8 er 8.

$$r=\frac{8±2\sqrt{13}}{2\times 3}$$

Multipliser 2 ganger 3.

$$r=\frac{8±2\sqrt{13}}{6}$$

Nå kan du løse formelen r=\frac{8±2\sqrt{13}}{6} når ± er pluss. Legg sammen 8 og 2\sqrt{13}.

$$r=\frac{2\sqrt{13}+8}{6}$$

Del 8+2\sqrt{13} på 6.

$$r=\frac{\sqrt{13}+4}{3}$$

Nå kan du løse formelen r=\frac{8±2\sqrt{13}}{6} når ± er minus. Trekk fra 2\sqrt{13} fra 8.

$$r=\frac{8-2\sqrt{13}}{6}$$

Del 8-2\sqrt{13} på 6.

$$r=\frac{4-\sqrt{13}}{3}$$

Ligningen er nå løst.

$$r=\frac{\sqrt{13}+4}{3} r=\frac{4-\sqrt{13}}{3}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$3r^{2}-8r+1=0$$

Trekk fra 1 fra begge sider av ligningen.

$$3r^{2}-8r+1-1=-1$$

Når du trekker fra 1 fra seg selv har du 0 igjen.

$$3r^{2}-8r=-1$$

Del begge sidene på 3.

$$\frac{3r^{2}-8r}{3}=-\frac{1}{3}$$

Hvis du deler på 3, gjør du om gangingen med 3.

$$r^{2}-\frac{8}{3}r=-\frac{1}{3}$$

Del -\frac{8}{3}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -\frac{4}{3}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -\frac{4}{3} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$r^{2}-\frac{8}{3}r+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}=-\frac{1}{3}+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{4}{3} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$r^{2}-\frac{8}{3}r+\frac{16}{9}=-\frac{1}{3}+\frac{16}{9}$$

Legg sammen -\frac{1}{3} og \frac{16}{9} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$r^{2}-\frac{8}{3}r+\frac{16}{9}=\frac{13}{9}$$

Faktoriser r^{2}-\frac{8}{3}r+\frac{16}{9}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(r-\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{13}{9}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(r-\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{13}{9}}$$

Forenkle.

$$r-\frac{4}{3}=\frac{\sqrt{13}}{3} r-\frac{4}{3}=-\frac{\sqrt{13}}{3}$$

Legg til \frac{4}{3} på begge sider av ligningen.

$$r=\frac{\sqrt{13}+4}{3} r=\frac{4-\sqrt{13}}{3}$$