Løs 3r^2-24r=-45

$$3 r ^ { 2 } - 24 r = - 45$$

Løs for r

$$r=3$$

$$r=5$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

Legg til 45 på begge sider.

$$3r^{2}-24r+45=0$$

Del begge sidene på 3.

$$r^{2}-8r+15=0$$

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som r^{2}+ar+br+15. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=-8 ab=1\times 15=15$$

Siden ab er positiv, a og b har samme fortegn. Siden a+b er negativ, er både a og b negative. Vis alle slike hel talls par som gir produkt 15.

$$-1,-15 -3,-5$$

Beregn summen for hvert par.

$$-1-15=-16 -3-5=-8$$

Løsningen er paret som gir Summer -8.

$$a=-5 b=-3$$

Skriv om r^{2}-8r+15 som \left(r^{2}-5r\right)+\left(-3r+15\right).

$$\left(r^{2}-5r\right)+\left(-3r+15\right)$$

Faktor ut r i den første og -3 i den andre gruppen.

$$r\left(r-5\right)-3\left(r-5\right)$$

Faktorer ut det felles leddet r-5 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(r-5\right)\left(r-3\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse r-5=0 og r-3=0.

$$r=5 r=3$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$3r^{2}-24r=-45$$

Legg til 45 på begge sider av ligningen.

$$3r^{2}-24r-\left(-45\right)=-45-\left(-45\right)$$

Når du trekker fra -45 fra seg selv har du 0 igjen.

$$3r^{2}-24r-\left(-45\right)=0$$

Trekk fra -45 fra 0.

$$3r^{2}-24r+45=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 3 for a, -24 for b og 45 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$r=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\times 3\times 45}}{2\times 3}$$

Kvadrer -24.

$$r=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-4\times 3\times 45}}{2\times 3}$$

Multipliser -4 ganger 3.

$$r=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-12\times 45}}{2\times 3}$$

Multipliser -12 ganger 45.

$$r=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-540}}{2\times 3}$$

Legg sammen 576 og -540.

$$r=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{36}}{2\times 3}$$

Ta kvadratroten av 36.

$$r=\frac{-\left(-24\right)±6}{2\times 3}$$

Det motsatte av -24 er 24.

$$r=\frac{24±6}{2\times 3}$$

Multipliser 2 ganger 3.

$$r=\frac{24±6}{6}$$

Nå kan du løse formelen r=\frac{24±6}{6} når ± er pluss. Legg sammen 24 og 6.

$$r=\frac{30}{6}$$

Del 30 på 6.

$$r=5$$

Nå kan du løse formelen r=\frac{24±6}{6} når ± er minus. Trekk fra 6 fra 24.

$$r=\frac{18}{6}$$

Del 18 på 6.

$$r=3$$

Ligningen er nå løst.

$$r=5 r=3$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$3r^{2}-24r=-45$$

Del begge sidene på 3.

$$\frac{3r^{2}-24r}{3}=-\frac{45}{3}$$

Hvis du deler på 3, gjør du om gangingen med 3.

$$r^{2}+\left(-\frac{24}{3}\right)r=-\frac{45}{3}$$

Del -24 på 3.

$$r^{2}-8r=-\frac{45}{3}$$

Del -45 på 3.

$$r^{2}-8r=-15$$

Del -8, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -4. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -4 på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$r^{2}-8r+\left(-4\right)^{2}=-15+\left(-4\right)^{2}$$

Kvadrer -4.

$$r^{2}-8r+16=-15+16$$

Legg sammen -15 og 16.

$$r^{2}-8r+16=1$$

Faktoriser r^{2}-8r+16. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(r-4\right)^{2}=1$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(r-4\right)^{2}}=\sqrt{1}$$

Forenkle.

$$r-4=1 r-4=-1$$

Legg til 4 på begge sider av ligningen.

$$r=5 r=3$$