Løs 3r^2+9r+6=0

$$3 r ^ { 2 } + 9 r + 6 = 0$$

Løs for r

$$r=-2$$

$$r=-1$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

Del begge sidene på 3.

$$r^{2}+3r+2=0$$

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som r^{2}+ar+br+2. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=3 ab=1\times 2=2$$

Siden ab er positiv, a og b har samme fortegn. Siden a+b er positiv, er a og b positive. Det eneste paret er system løsningen.

$$a=1 b=2$$

Skriv om r^{2}+3r+2 som \left(r^{2}+r\right)+\left(2r+2\right).

$$\left(r^{2}+r\right)+\left(2r+2\right)$$

Faktor ut r i den første og 2 i den andre gruppen.

$$r\left(r+1\right)+2\left(r+1\right)$$

Faktorer ut det felles leddet r+1 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(r+1\right)\left(r+2\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse r+1=0 og r+2=0.

$$r=-1 r=-2$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$3r^{2}+9r+6=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 3 for a, 9 for b og 6 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$r=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 3\times 6}}{2\times 3}$$

Kvadrer 9.

$$r=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 3\times 6}}{2\times 3}$$

Multipliser -4 ganger 3.

$$r=\frac{-9±\sqrt{81-12\times 6}}{2\times 3}$$

Multipliser -12 ganger 6.

$$r=\frac{-9±\sqrt{81-72}}{2\times 3}$$

Legg sammen 81 og -72.

$$r=\frac{-9±\sqrt{9}}{2\times 3}$$

Ta kvadratroten av 9.

$$r=\frac{-9±3}{2\times 3}$$

Multipliser 2 ganger 3.

$$r=\frac{-9±3}{6}$$

Nå kan du løse formelen r=\frac{-9±3}{6} når ± er pluss. Legg sammen -9 og 3.

$$r=-\frac{6}{6}$$

Del -6 på 6.

$$r=-1$$

Nå kan du løse formelen r=\frac{-9±3}{6} når ± er minus. Trekk fra 3 fra -9.

$$r=-\frac{12}{6}$$

Del -12 på 6.

$$r=-2$$

Ligningen er nå løst.

$$r=-1 r=-2$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$3r^{2}+9r+6=0$$

Trekk fra 6 fra begge sider av ligningen.

$$3r^{2}+9r+6-6=-6$$

Når du trekker fra 6 fra seg selv har du 0 igjen.

$$3r^{2}+9r=-6$$

Del begge sidene på 3.

$$\frac{3r^{2}+9r}{3}=-\frac{6}{3}$$

Hvis du deler på 3, gjør du om gangingen med 3.

$$r^{2}+\frac{9}{3}r=-\frac{6}{3}$$

Del 9 på 3.

$$r^{2}+3r=-\frac{6}{3}$$

Del -6 på 3.

$$r^{2}+3r=-2$$

Del 3, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få \frac{3}{2}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av \frac{3}{2} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$r^{2}+3r+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=-2+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Kvadrer \frac{3}{2} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$r^{2}+3r+\frac{9}{4}=-2+\frac{9}{4}$$

Legg sammen -2 og \frac{9}{4}.

$$r^{2}+3r+\frac{9}{4}=\frac{1}{4}$$

Faktoriser r^{2}+3r+\frac{9}{4}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(r+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(r+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

Forenkle.

$$r+\frac{3}{2}=\frac{1}{2} r+\frac{3}{2}=-\frac{1}{2}$$

Trekk fra \frac{3}{2} fra begge sider av ligningen.

$$r=-1 r=-2$$