Løs 3q^2-19q+16=0

$$3 q ^ { 2 } - 19 q + 16 = 0$$

Løs for q

$$q=1$$

$$q = \frac{16}{3} = 5\frac{1}{3} \approx 5,333333333$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

For å løse ligningen faktoriserer du venstre side ved å gruppere. Først må venstre side omskrives som 3q^{2}+aq+bq+16. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=-19 ab=3\times 16=48$$

Siden ab er positiv, a og b har samme fortegn. Siden a+b er negativ, er både a og b negative. Vis alle slike hel talls par som gir produkt 48.

$$-1,-48 -2,-24 -3,-16 -4,-12 -6,-8$$

Beregn summen for hvert par.

$$-1-48=-49 -2-24=-26 -3-16=-19 -4-12=-16 -6-8=-14$$

Løsningen er paret som gir Summer -19.

$$a=-16 b=-3$$

Skriv om 3q^{2}-19q+16 som \left(3q^{2}-16q\right)+\left(-3q+16\right).

$$\left(3q^{2}-16q\right)+\left(-3q+16\right)$$

Faktor ut q i den første og -1 i den andre gruppen.

$$q\left(3q-16\right)-\left(3q-16\right)$$

Faktorer ut det felles leddet 3q-16 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(3q-16\right)\left(q-1\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse 3q-16=0 og q-1=0.

$$q=\frac{16}{3} q=1$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$3q^{2}-19q+16=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 3 for a, -19 for b og 16 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$q=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{\left(-19\right)^{2}-4\times 3\times 16}}{2\times 3}$$

Kvadrer -19.

$$q=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-4\times 3\times 16}}{2\times 3}$$

Multipliser -4 ganger 3.

$$q=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-12\times 16}}{2\times 3}$$

Multipliser -12 ganger 16.

$$q=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-192}}{2\times 3}$$

Legg sammen 361 og -192.

$$q=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{169}}{2\times 3}$$

Ta kvadratroten av 169.

$$q=\frac{-\left(-19\right)±13}{2\times 3}$$

Det motsatte av -19 er 19.

$$q=\frac{19±13}{2\times 3}$$

Multipliser 2 ganger 3.

$$q=\frac{19±13}{6}$$

Nå kan du løse formelen q=\frac{19±13}{6} når ± er pluss. Legg sammen 19 og 13.

$$q=\frac{32}{6}$$

Forkort brøken \frac{32}{6} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 2.

$$q=\frac{16}{3}$$

Nå kan du løse formelen q=\frac{19±13}{6} når ± er minus. Trekk fra 13 fra 19.

$$q=\frac{6}{6}$$

Del 6 på 6.

$$q=1$$

Ligningen er nå løst.

$$q=\frac{16}{3} q=1$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$3q^{2}-19q+16=0$$

Trekk fra 16 fra begge sider av ligningen.

$$3q^{2}-19q+16-16=-16$$

Når du trekker fra 16 fra seg selv har du 0 igjen.

$$3q^{2}-19q=-16$$

Del begge sidene på 3.

$$\frac{3q^{2}-19q}{3}=-\frac{16}{3}$$

Hvis du deler på 3, gjør du om gangingen med 3.

$$q^{2}-\frac{19}{3}q=-\frac{16}{3}$$

Divider -\frac{19}{3}, koeffisienten til leddet x, med 2 for å få -\frac{19}{6}. Legg deretter til kvadratet av -\frac{19}{6} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til et perfekt kvadrat.

$$q^{2}-\frac{19}{3}q+\left(-\frac{19}{6}\right)^{2}=-\frac{16}{3}+\left(-\frac{19}{6}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{19}{6} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$q^{2}-\frac{19}{3}q+\frac{361}{36}=-\frac{16}{3}+\frac{361}{36}$$

Legg sammen -\frac{16}{3} og \frac{361}{36} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$q^{2}-\frac{19}{3}q+\frac{361}{36}=\frac{169}{36}$$

Faktoriser q^{2}-\frac{19}{3}q+\frac{361}{36}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(q-\frac{19}{6}\right)^{2}=\frac{169}{36}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(q-\frac{19}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{36}}$$

Forenkle.

$$q-\frac{19}{6}=\frac{13}{6} q-\frac{19}{6}=-\frac{13}{6}$$

Legg til \frac{19}{6} på begge sider av ligningen.

$$q=\frac{16}{3} q=1$$