Løs 3q^2+q-14=0

$$3 q ^ { 2 } + q - 14 = 0$$

Løs for q

$$q = -\frac{7}{3} = -2\frac{1}{3} \approx -2,333333333$$

$$q=2$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som 3q^{2}+aq+bq-14. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=1 ab=3\left(-14\right)=-42$$

Siden ab er negativ, a og b har motsatt tegn. Siden a+b er positiv, har det positive tallet større absolutt verdi enn det negative. Vis alle slike hel talls par som gir produkt -42.

$$-1,42 -2,21 -3,14 -6,7$$

Beregn summen for hvert par.

$$-1+42=41 -2+21=19 -3+14=11 -6+7=1$$

Løsningen er paret som gir Summer 1.

$$a=-6 b=7$$

Skriv om 3q^{2}+q-14 som \left(3q^{2}-6q\right)+\left(7q-14\right).

$$\left(3q^{2}-6q\right)+\left(7q-14\right)$$

Faktor ut 3q i den første og 7 i den andre gruppen.

$$3q\left(q-2\right)+7\left(q-2\right)$$

Faktorer ut det felles leddet q-2 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(q-2\right)\left(3q+7\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse q-2=0 og 3q+7=0.

$$q=2 q=-\frac{7}{3}$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$3q^{2}+q-14=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 3 for a, 1 for b og -14 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$q=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 3\left(-14\right)}}{2\times 3}$$

Kvadrer 1.

$$q=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 3\left(-14\right)}}{2\times 3}$$

Multipliser -4 ganger 3.

$$q=\frac{-1±\sqrt{1-12\left(-14\right)}}{2\times 3}$$

Multipliser -12 ganger -14.

$$q=\frac{-1±\sqrt{1+168}}{2\times 3}$$

Legg sammen 1 og 168.

$$q=\frac{-1±\sqrt{169}}{2\times 3}$$

Ta kvadratroten av 169.

$$q=\frac{-1±13}{2\times 3}$$

Multipliser 2 ganger 3.

$$q=\frac{-1±13}{6}$$

Nå kan du løse formelen q=\frac{-1±13}{6} når ± er pluss. Legg sammen -1 og 13.

$$q=\frac{12}{6}$$

Del 12 på 6.

$$q=2$$

Nå kan du løse formelen q=\frac{-1±13}{6} når ± er minus. Trekk fra 13 fra -1.

$$q=-\frac{14}{6}$$

Forkort brøken \frac{-14}{6} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 2.

$$q=-\frac{7}{3}$$

Ligningen er nå løst.

$$q=2 q=-\frac{7}{3}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$3q^{2}+q-14=0$$

Legg til 14 på begge sider av ligningen.

$$3q^{2}+q-14-\left(-14\right)=-\left(-14\right)$$

Når du trekker fra -14 fra seg selv har du 0 igjen.

$$3q^{2}+q=-\left(-14\right)$$

Trekk fra -14 fra 0.

$$3q^{2}+q=14$$

Del begge sidene på 3.

$$\frac{3q^{2}+q}{3}=\frac{14}{3}$$

Hvis du deler på 3, gjør du om gangingen med 3.

$$q^{2}+\frac{1}{3}q=\frac{14}{3}$$

Del \frac{1}{3}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få \frac{1}{6}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av \frac{1}{6} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$q^{2}+\frac{1}{3}q+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{14}{3}+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}$$

Kvadrer \frac{1}{6} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$q^{2}+\frac{1}{3}q+\frac{1}{36}=\frac{14}{3}+\frac{1}{36}$$

Legg sammen \frac{14}{3} og \frac{1}{36} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$q^{2}+\frac{1}{3}q+\frac{1}{36}=\frac{169}{36}$$

Faktoriser q^{2}+\frac{1}{3}q+\frac{1}{36}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(q+\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{169}{36}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(q+\frac{1}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{36}}$$

Forenkle.

$$q+\frac{1}{6}=\frac{13}{6} q+\frac{1}{6}=-\frac{13}{6}$$

Trekk fra \frac{1}{6} fra begge sider av ligningen.

$$q=2 q=-\frac{7}{3}$$