Løs 3p^2-8p+5=0

$$3 p ^ { 2 } - 8 p + 5 = 0$$

Løs for p

$$p=1$$

$$p = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1,666666667$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som 3p^{2}+ap+bp+5. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=-8 ab=3\times 5=15$$

Siden ab er positiv, a og b har samme fortegn. Siden a+b er negativ, er både a og b negative. Vis alle slike hel talls par som gir produkt 15.

$$-1,-15 -3,-5$$

Beregn summen for hvert par.

$$-1-15=-16 -3-5=-8$$

Løsningen er paret som gir Summer -8.

$$a=-5 b=-3$$

Skriv om 3p^{2}-8p+5 som \left(3p^{2}-5p\right)+\left(-3p+5\right).

$$\left(3p^{2}-5p\right)+\left(-3p+5\right)$$

Faktor ut p i den første og -1 i den andre gruppen.

$$p\left(3p-5\right)-\left(3p-5\right)$$

Faktorer ut det felles leddet 3p-5 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(3p-5\right)\left(p-1\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse 3p-5=0 og p-1=0.

$$p=\frac{5}{3} p=1$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$3p^{2}-8p+5=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 3 for a, -8 for b og 5 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$p=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 3\times 5}}{2\times 3}$$

Kvadrer -8.

$$p=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 3\times 5}}{2\times 3}$$

Multipliser -4 ganger 3.

$$p=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-12\times 5}}{2\times 3}$$

Multipliser -12 ganger 5.

$$p=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-60}}{2\times 3}$$

Legg sammen 64 og -60.

$$p=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{4}}{2\times 3}$$

Ta kvadratroten av 4.

$$p=\frac{-\left(-8\right)±2}{2\times 3}$$

Det motsatte av -8 er 8.

$$p=\frac{8±2}{2\times 3}$$

Multipliser 2 ganger 3.

$$p=\frac{8±2}{6}$$

Nå kan du løse formelen p=\frac{8±2}{6} når ± er pluss. Legg sammen 8 og 2.

$$p=\frac{10}{6}$$

Forkort brøken \frac{10}{6} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 2.

$$p=\frac{5}{3}$$

Nå kan du løse formelen p=\frac{8±2}{6} når ± er minus. Trekk fra 2 fra 8.

$$p=\frac{6}{6}$$

Del 6 på 6.

$$p=1$$

Ligningen er nå løst.

$$p=\frac{5}{3} p=1$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$3p^{2}-8p+5=0$$

Trekk fra 5 fra begge sider av ligningen.

$$3p^{2}-8p+5-5=-5$$

Når du trekker fra 5 fra seg selv har du 0 igjen.

$$3p^{2}-8p=-5$$

Del begge sidene på 3.

$$\frac{3p^{2}-8p}{3}=-\frac{5}{3}$$

Hvis du deler på 3, gjør du om gangingen med 3.

$$p^{2}-\frac{8}{3}p=-\frac{5}{3}$$

Del -\frac{8}{3}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -\frac{4}{3}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -\frac{4}{3} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$p^{2}-\frac{8}{3}p+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}=-\frac{5}{3}+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{4}{3} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$p^{2}-\frac{8}{3}p+\frac{16}{9}=-\frac{5}{3}+\frac{16}{9}$$

Legg sammen -\frac{5}{3} og \frac{16}{9} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$p^{2}-\frac{8}{3}p+\frac{16}{9}=\frac{1}{9}$$

Faktoriser p^{2}-\frac{8}{3}p+\frac{16}{9}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(p-\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{1}{9}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(p-\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{9}}$$

Forenkle.

$$p-\frac{4}{3}=\frac{1}{3} p-\frac{4}{3}=-\frac{1}{3}$$

Legg til \frac{4}{3} på begge sider av ligningen.

$$p=\frac{5}{3} p=1$$