Løs 3n^2-4n-15=0

$$3 n ^ { 2 } - 4 n - 15 = 0$$

Løs for n

$$n = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1,666666667$$

$$n=3$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som 3n^{2}+an+bn-15. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=-4 ab=3\left(-15\right)=-45$$

Siden ab er negativ, a og b har motsatt tegn. Siden a+b er negativ, har negative tallet større absolutt verdi enn positiv. Vis alle slike hel talls par som gir produkt -45.

$$1,-45 3,-15 5,-9$$

Beregn summen for hvert par.

$$1-45=-44 3-15=-12 5-9=-4$$

Løsningen er paret som gir Summer -4.

$$a=-9 b=5$$

Skriv om 3n^{2}-4n-15 som \left(3n^{2}-9n\right)+\left(5n-15\right).

$$\left(3n^{2}-9n\right)+\left(5n-15\right)$$

Faktor ut 3n i den første og 5 i den andre gruppen.

$$3n\left(n-3\right)+5\left(n-3\right)$$

Faktorer ut det felles leddet n-3 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(n-3\right)\left(3n+5\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse n-3=0 og 3n+5=0.

$$n=3 n=-\frac{5}{3}$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$3n^{2}-4n-15=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 3 for a, -4 for b og -15 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 3\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

Kvadrer -4.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 3\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

Multipliser -4 ganger 3.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-12\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

Multipliser -12 ganger -15.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+180}}{2\times 3}$$

Legg sammen 16 og 180.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{196}}{2\times 3}$$

Ta kvadratroten av 196.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±14}{2\times 3}$$

Det motsatte av -4 er 4.

$$n=\frac{4±14}{2\times 3}$$

Multipliser 2 ganger 3.

$$n=\frac{4±14}{6}$$

Nå kan du løse formelen n=\frac{4±14}{6} når ± er pluss. Legg sammen 4 og 14.

$$n=\frac{18}{6}$$

Del 18 på 6.

$$n=3$$

Nå kan du løse formelen n=\frac{4±14}{6} når ± er minus. Trekk fra 14 fra 4.

$$n=-\frac{10}{6}$$

Forkort brøken \frac{-10}{6} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 2.

$$n=-\frac{5}{3}$$

Ligningen er nå løst.

$$n=3 n=-\frac{5}{3}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$3n^{2}-4n-15=0$$

Legg til 15 på begge sider av ligningen.

$$3n^{2}-4n-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

Når du trekker fra -15 fra seg selv har du 0 igjen.

$$3n^{2}-4n=-\left(-15\right)$$

Trekk fra -15 fra 0.

$$3n^{2}-4n=15$$

Del begge sidene på 3.

$$\frac{3n^{2}-4n}{3}=\frac{15}{3}$$

Hvis du deler på 3, gjør du om gangingen med 3.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n=\frac{15}{3}$$

Del 15 på 3.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n=5$$

Del -\frac{4}{3}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -\frac{2}{3}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -\frac{2}{3} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=5+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{2}{3} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n+\frac{4}{9}=5+\frac{4}{9}$$

Legg sammen 5 og \frac{4}{9}.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n+\frac{4}{9}=\frac{49}{9}$$

Faktoriser n^{2}-\frac{4}{3}n+\frac{4}{9}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{49}{9}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(n-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{9}}$$

Forenkle.

$$n-\frac{2}{3}=\frac{7}{3} n-\frac{2}{3}=-\frac{7}{3}$$

Legg til \frac{2}{3} på begge sider av ligningen.

$$n=3 n=-\frac{5}{3}$$