Løs 3n^2+47n-232=5

$$3 n ^ { 2 } + 47 n - 232 = 5$$

Løs for n

$$n = \frac{\sqrt{5053} - 47}{6} \approx 4,014076135$$

$$n=\frac{-\sqrt{5053}-47}{6}\approx -19,680742802$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$3n^{2}+47n-232=5$$

Trekk fra 5 fra begge sider av ligningen.

$$3n^{2}+47n-232-5=5-5$$

Når du trekker fra 5 fra seg selv har du 0 igjen.

$$3n^{2}+47n-232-5=0$$

Trekk fra 5 fra -232.

$$3n^{2}+47n-237=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 3 for a, 47 for b og -237 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-47±\sqrt{47^{2}-4\times 3\left(-237\right)}}{2\times 3}$$

Kvadrer 47.

$$n=\frac{-47±\sqrt{2209-4\times 3\left(-237\right)}}{2\times 3}$$

Multipliser -4 ganger 3.

$$n=\frac{-47±\sqrt{2209-12\left(-237\right)}}{2\times 3}$$

Multipliser -12 ganger -237.

$$n=\frac{-47±\sqrt{2209+2844}}{2\times 3}$$

Legg sammen 2209 og 2844.

$$n=\frac{-47±\sqrt{5053}}{2\times 3}$$

Multipliser 2 ganger 3.

$$n=\frac{-47±\sqrt{5053}}{6}$$

Nå kan du løse formelen n=\frac{-47±\sqrt{5053}}{6} når ± er pluss. Legg sammen -47 og \sqrt{5053}.

$$n=\frac{\sqrt{5053}-47}{6}$$

Nå kan du løse formelen n=\frac{-47±\sqrt{5053}}{6} når ± er minus. Trekk fra \sqrt{5053} fra -47.

$$n=\frac{-\sqrt{5053}-47}{6}$$

Ligningen er nå løst.

$$n=\frac{\sqrt{5053}-47}{6} n=\frac{-\sqrt{5053}-47}{6}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$3n^{2}+47n-232=5$$

Legg til 232 på begge sider av ligningen.

$$3n^{2}+47n-232-\left(-232\right)=5-\left(-232\right)$$

Når du trekker fra -232 fra seg selv har du 0 igjen.

$$3n^{2}+47n=5-\left(-232\right)$$

Trekk fra -232 fra 5.

$$3n^{2}+47n=237$$

Del begge sidene på 3.

$$\frac{3n^{2}+47n}{3}=\frac{237}{3}$$

Hvis du deler på 3, gjør du om gangingen med 3.

$$n^{2}+\frac{47}{3}n=\frac{237}{3}$$

Del 237 på 3.

$$n^{2}+\frac{47}{3}n=79$$

Del \frac{47}{3}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få \frac{47}{6}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av \frac{47}{6} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$n^{2}+\frac{47}{3}n+\left(\frac{47}{6}\right)^{2}=79+\left(\frac{47}{6}\right)^{2}$$

Kvadrer \frac{47}{6} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$n^{2}+\frac{47}{3}n+\frac{2209}{36}=79+\frac{2209}{36}$$

Legg sammen 79 og \frac{2209}{36}.

$$n^{2}+\frac{47}{3}n+\frac{2209}{36}=\frac{5053}{36}$$

Faktoriser n^{2}+\frac{47}{3}n+\frac{2209}{36}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n+\frac{47}{6}\right)^{2}=\frac{5053}{36}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(n+\frac{47}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5053}{36}}$$

Forenkle.

$$n+\frac{47}{6}=\frac{\sqrt{5053}}{6} n+\frac{47}{6}=-\frac{\sqrt{5053}}{6}$$

Trekk fra \frac{47}{6} fra begge sider av ligningen.

$$n=\frac{\sqrt{5053}-47}{6} n=\frac{-\sqrt{5053}-47}{6}$$