Løs 3n^2+10n=8

$$3 n ^ { 2 } + 10 n = 8$$

Løs for n

$$n=-4$$

$$n=\frac{2}{3}\approx 0,666666667$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

Trekk fra 8 fra begge sider.

$$3n^{2}+10n-8=0$$

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som 3n^{2}+an+bn-8. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=10 ab=3\left(-8\right)=-24$$

Siden ab er negativ, a og b har motsatt tegn. Siden a+b er positiv, har det positive tallet større absolutt verdi enn det negative. Vis alle slike hel talls par som gir produkt -24.

$$-1,24 -2,12 -3,8 -4,6$$

Beregn summen for hvert par.

$$-1+24=23 -2+12=10 -3+8=5 -4+6=2$$

Løsningen er paret som gir Summer 10.

$$a=-2 b=12$$

Skriv om 3n^{2}+10n-8 som \left(3n^{2}-2n\right)+\left(12n-8\right).

$$\left(3n^{2}-2n\right)+\left(12n-8\right)$$

Faktor ut n i den første og 4 i den andre gruppen.

$$n\left(3n-2\right)+4\left(3n-2\right)$$

Faktorer ut det felles leddet 3n-2 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(3n-2\right)\left(n+4\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse 3n-2=0 og n+4=0.

$$n=\frac{2}{3} n=-4$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$3n^{2}+10n=8$$

Trekk fra 8 fra begge sider av ligningen.

$$3n^{2}+10n-8=8-8$$

Når du trekker fra 8 fra seg selv har du 0 igjen.

$$3n^{2}+10n-8=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 3 for a, 10 for b og -8 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 3\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

Kvadrer 10.

$$n=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 3\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

Multipliser -4 ganger 3.

$$n=\frac{-10±\sqrt{100-12\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

Multipliser -12 ganger -8.

$$n=\frac{-10±\sqrt{100+96}}{2\times 3}$$

Legg sammen 100 og 96.

$$n=\frac{-10±\sqrt{196}}{2\times 3}$$

Ta kvadratroten av 196.

$$n=\frac{-10±14}{2\times 3}$$

Multipliser 2 ganger 3.

$$n=\frac{-10±14}{6}$$

Nå kan du løse formelen n=\frac{-10±14}{6} når ± er pluss. Legg sammen -10 og 14.

$$n=\frac{4}{6}$$

Forkort brøken \frac{4}{6} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 2.

$$n=\frac{2}{3}$$

Nå kan du løse formelen n=\frac{-10±14}{6} når ± er minus. Trekk fra 14 fra -10.

$$n=-\frac{24}{6}$$

Del -24 på 6.

$$n=-4$$

Ligningen er nå løst.

$$n=\frac{2}{3} n=-4$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$3n^{2}+10n=8$$

Del begge sidene på 3.

$$\frac{3n^{2}+10n}{3}=\frac{8}{3}$$

Hvis du deler på 3, gjør du om gangingen med 3.

$$n^{2}+\frac{10}{3}n=\frac{8}{3}$$

Del \frac{10}{3}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få \frac{5}{3}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av \frac{5}{3} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$n^{2}+\frac{10}{3}n+\left(\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{8}{3}+\left(\frac{5}{3}\right)^{2}$$

Kvadrer \frac{5}{3} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$n^{2}+\frac{10}{3}n+\frac{25}{9}=\frac{8}{3}+\frac{25}{9}$$

Legg sammen \frac{8}{3} og \frac{25}{9} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$n^{2}+\frac{10}{3}n+\frac{25}{9}=\frac{49}{9}$$

Faktoriser n^{2}+\frac{10}{3}n+\frac{25}{9}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n+\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{49}{9}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(n+\frac{5}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{9}}$$

Forenkle.

$$n+\frac{5}{3}=\frac{7}{3} n+\frac{5}{3}=-\frac{7}{3}$$

Trekk fra \frac{5}{3} fra begge sider av ligningen.

$$n=\frac{2}{3} n=-4$$