Løs 3b^2-8b-15=0

$$3 b ^ { 2 } - 8 b - 15 = 0$$

Løs for b

$$b = \frac{\sqrt{61} + 4}{3} \approx 3,936749892$$

$$b=\frac{4-\sqrt{61}}{3}\approx -1,270083225$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$3b^{2}-8b-15=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 3 for a, -8 for b og -15 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$b=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 3\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

Kvadrer -8.

$$b=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 3\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

Multipliser -4 ganger 3.

$$b=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-12\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

Multipliser -12 ganger -15.

$$b=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+180}}{2\times 3}$$

Legg sammen 64 og 180.

$$b=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{244}}{2\times 3}$$

Ta kvadratroten av 244.

$$b=\frac{-\left(-8\right)±2\sqrt{61}}{2\times 3}$$

Det motsatte av -8 er 8.

$$b=\frac{8±2\sqrt{61}}{2\times 3}$$

Multipliser 2 ganger 3.

$$b=\frac{8±2\sqrt{61}}{6}$$

Nå kan du løse formelen b=\frac{8±2\sqrt{61}}{6} når ± er pluss. Legg sammen 8 og 2\sqrt{61}.

$$b=\frac{2\sqrt{61}+8}{6}$$

Del 8+2\sqrt{61} på 6.

$$b=\frac{\sqrt{61}+4}{3}$$

Nå kan du løse formelen b=\frac{8±2\sqrt{61}}{6} når ± er minus. Trekk fra 2\sqrt{61} fra 8.

$$b=\frac{8-2\sqrt{61}}{6}$$

Del 8-2\sqrt{61} på 6.

$$b=\frac{4-\sqrt{61}}{3}$$

Ligningen er nå løst.

$$b=\frac{\sqrt{61}+4}{3} b=\frac{4-\sqrt{61}}{3}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$3b^{2}-8b-15=0$$

Legg til 15 på begge sider av ligningen.

$$3b^{2}-8b-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

Når du trekker fra -15 fra seg selv har du 0 igjen.

$$3b^{2}-8b=-\left(-15\right)$$

Trekk fra -15 fra 0.

$$3b^{2}-8b=15$$

Del begge sidene på 3.

$$\frac{3b^{2}-8b}{3}=\frac{15}{3}$$

Hvis du deler på 3, gjør du om gangingen med 3.

$$b^{2}-\frac{8}{3}b=\frac{15}{3}$$

Del 15 på 3.

$$b^{2}-\frac{8}{3}b=5$$

Divider -\frac{8}{3}, koeffisienten til leddet x, med 2 for å få -\frac{4}{3}. Legg deretter til kvadratet av -\frac{4}{3} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til et perfekt kvadrat.

$$b^{2}-\frac{8}{3}b+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}=5+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{4}{3} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$b^{2}-\frac{8}{3}b+\frac{16}{9}=5+\frac{16}{9}$$

Legg sammen 5 og \frac{16}{9}.

$$b^{2}-\frac{8}{3}b+\frac{16}{9}=\frac{61}{9}$$

Faktoriser b^{2}-\frac{8}{3}b+\frac{16}{9}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(b-\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{61}{9}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(b-\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{61}{9}}$$

Forenkle.

$$b-\frac{4}{3}=\frac{\sqrt{61}}{3} b-\frac{4}{3}=-\frac{\sqrt{61}}{3}$$

Legg til \frac{4}{3} på begge sider av ligningen.

$$b=\frac{\sqrt{61}+4}{3} b=\frac{4-\sqrt{61}}{3}$$