Løs 3-2x=ytext{and}3x+y=-3

$$3 - 2 x = y \text { and } 3 x + y = - 3$$

Løs for x, y

$$x=-6$$

$$y=15$$

Fremgangsmåten ved bruk av innsetting

Vurder den første formelen. Trekk fra y fra begge sider.

$$3-2x-y=0$$

Trekk fra 3 fra begge sider. Hvilket som helst tall trukket fra null gir sin negasjon.

$$-2x-y=-3$$

Hvis du vil løse et ligningspar ved hjelp av innsetting, løser du først en av ligningene for å få en variabel. Deretter setter du inn resultatet for denne variabelen i den andre ligningen.

$$-2x-y=-3,3x+y=-3$$

Velg én av ligningene, og løs den for x ved å isolere x på venstre side av likhetstegnet.

$$-2x-y=-3$$

Legg til y på begge sider av ligningen.

$$-2x=y-3$$

Del begge sidene på -2.

$$x=-\frac{1}{2}\left(y-3\right)$$

Multipliser -\frac{1}{2} ganger y-3.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}$$

Sett inn \frac{-y+3}{2} for x i den andre formelen, 3x+y=-3.

$$3\left(-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}\right)+y=-3$$

Multipliser 3 ganger \frac{-y+3}{2}.

$$-\frac{3}{2}y+\frac{9}{2}+y=-3$$

Legg sammen -\frac{3y}{2} og y.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{9}{2}=-3$$

Trekk fra \frac{9}{2} fra begge sider av ligningen.

$$-\frac{1}{2}y=-\frac{15}{2}$$

Multipliser begge sider med -2.

$$y=15$$

Sett inn 15 for y i x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}. Fordi den resulterende ligningen inneholder bare én variabel, kan du løse x direkte.

$$x=-\frac{1}{2}\times 15+\frac{3}{2}$$

Multipliser -\frac{1}{2} ganger 15.

$$x=\frac{-15+3}{2}$$

Legg sammen \frac{3}{2} og -\frac{15}{2} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x=-6$$

Systemet er nå løst.

$$x=-6,y=15$$

Fremgangsmåten ved hjelp av matriser

Vurder den første formelen. Trekk fra y fra begge sider.

$$3-2x-y=0$$

Trekk fra 3 fra begge sider. Hvilket som helst tall trukket fra null gir sin negasjon.

$$-2x-y=-3$$

Skriv ligningene i standardformat, og bruk matriser til å løse ligningssystemet.

$$-2x-y=-3,3x+y=-3$$

Skriv ligningen i matriseform.

$$\left(\begin{matrix}-2&-1\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-3\end{matrix}\right)$$

Venstremultipliser formelen med den inverse matrisen til \left(\begin{matrix}-2&-1\\3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&-1\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-3\end{matrix}\right)$$

Produktet av en matrise og dens inverse matrise er identitetsmatrisen.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-3\end{matrix}\right)$$

Multiplisere matriser på venstre side av likhetstegnet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-3\end{matrix}\right)$$

For 2\times 2-matrisen\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), er den inverse matrisen \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), så matriseformelen kan skrives om som matrisemultiplikasjon.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{-2-\left(-3\right)}&-\frac{-1}{-2-\left(-3\right)}\\-\frac{3}{-2-\left(-3\right)}&-\frac{2}{-2-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-3\end{matrix}\right)$$

Gjør aritmetikken.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&1\\-3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-3\end{matrix}\right)$$

Multipliser matrisene.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3-3\\-3\left(-3\right)-2\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Gjør aritmetikken.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\15\end{matrix}\right)$$

Trekk ut matriseelementene x og y.

$$x=-6,y=15$$

Fremgangsmåten ved hjelp av eliminasjon

Vurder den første formelen. Trekk fra y fra begge sider.

$$3-2x-y=0$$

Trekk fra 3 fra begge sider. Hvilket som helst tall trukket fra null gir sin negasjon.

$$-2x-y=-3$$

Hvis du vil løse ved eliminasjon, må koeffisienten til en av variablene være den samme i begge formlene, slik at variabelen elimineres når én ligning trekkes fra den andre.

$$-2x-y=-3,3x+y=-3$$

For å gjøre -2x og 3x lik multipliserer du alle leddene på hver side av den første ligningen med 3 og alle leddene på hver side av den andre ligningen med -2.

$$3\left(-2\right)x+3\left(-1\right)y=3\left(-3\right),-2\times 3x-2y=-2\left(-3\right)$$

Forenkle.

$$-6x-3y=-9,-6x-2y=6$$

Trekk fra -6x-2y=6 fra -6x-3y=-9 ved å trekke fra tilsvarende ledd på hver side av likhetstegnet.

$$-6x+6x-3y+2y=-9-6$$

Legg sammen -6x og 6x. Vilkårene -6x og 6x eliminerer hverandre, slik at vi får en formel med bare én variabel som kan løses.

$$-3y+2y=-9-6$$

Legg sammen -3y og 2y.

$$-y=-9-6$$

Legg sammen -9 og -6.

$$-y=-15$$

Del begge sidene på -1.

$$y=15$$

Sett inn 15 for y i 3x+y=-3. Fordi den resulterende ligningen inneholder bare én variabel, kan du løse x direkte.

$$3x+15=-3$$

Trekk fra 15 fra begge sider av ligningen.

$$3x=-18$$

Del begge sidene på 3.

$$x=-6$$

Systemet er nå løst.

$$x=-6,y=15$$