Løs 3z^2+9z+6=0

$$3 { z }^{ 2 } +9z+6=0$$

Løs for z

$$z=-2$$

$$z=-1$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

Del begge sidene på 3.

$$z^{2}+3z+2=0$$

For å løse ligningen faktoriserer du venstre side ved å gruppere. Først må venstre side omskrives som z^{2}+az+bz+2. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=3 ab=1\times 2=2$$

Siden ab er positiv, a og b har samme fortegn. Siden a+b er positiv, er a og b positive. Det eneste paret er system løsningen.

$$a=1 b=2$$

Skriv om z^{2}+3z+2 som \left(z^{2}+z\right)+\left(2z+2\right).

$$\left(z^{2}+z\right)+\left(2z+2\right)$$

Faktor ut z i den første og 2 i den andre gruppen.

$$z\left(z+1\right)+2\left(z+1\right)$$

Faktorer ut det felles leddet z+1 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(z+1\right)\left(z+2\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse z+1=0 og z+2=0.

$$z=-1 z=-2$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$3z^{2}+9z+6=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 3 for a, 9 for b og 6 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 3\times 6}}{2\times 3}$$

Kvadrer 9.

$$z=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 3\times 6}}{2\times 3}$$

Multipliser -4 ganger 3.

$$z=\frac{-9±\sqrt{81-12\times 6}}{2\times 3}$$

Multipliser -12 ganger 6.

$$z=\frac{-9±\sqrt{81-72}}{2\times 3}$$

Legg sammen 81 og -72.

$$z=\frac{-9±\sqrt{9}}{2\times 3}$$

Ta kvadratroten av 9.

$$z=\frac{-9±3}{2\times 3}$$

Multipliser 2 ganger 3.

$$z=\frac{-9±3}{6}$$

Nå kan du løse formelen z=\frac{-9±3}{6} når ± er pluss. Legg sammen -9 og 3.

$$z=-\frac{6}{6}$$

Del -6 på 6.

$$z=-1$$

Nå kan du løse formelen z=\frac{-9±3}{6} når ± er minus. Trekk fra 3 fra -9.

$$z=-\frac{12}{6}$$

Del -12 på 6.

$$z=-2$$

Ligningen er nå løst.

$$z=-1 z=-2$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$3z^{2}+9z+6=0$$

Trekk fra 6 fra begge sider av ligningen.

$$3z^{2}+9z+6-6=-6$$

Når du trekker fra 6 fra seg selv har du 0 igjen.

$$3z^{2}+9z=-6$$

Del begge sidene på 3.

$$\frac{3z^{2}+9z}{3}=-\frac{6}{3}$$

Hvis du deler på 3, gjør du om gangingen med 3.

$$z^{2}+\frac{9}{3}z=-\frac{6}{3}$$

Del 9 på 3.

$$z^{2}+3z=-\frac{6}{3}$$

Del -6 på 3.

$$z^{2}+3z=-2$$

Divider 3, koeffisienten til leddet x, med 2 for å få \frac{3}{2}. Legg deretter til kvadratet av \frac{3}{2} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til et perfekt kvadrat.

$$z^{2}+3z+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=-2+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Kvadrer \frac{3}{2} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$z^{2}+3z+\frac{9}{4}=-2+\frac{9}{4}$$

Legg sammen -2 og \frac{9}{4}.

$$z^{2}+3z+\frac{9}{4}=\frac{1}{4}$$

Faktoriser z^{2}+3z+\frac{9}{4}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(z+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(z+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

Forenkle.

$$z+\frac{3}{2}=\frac{1}{2} z+\frac{3}{2}=-\frac{1}{2}$$

Trekk fra \frac{3}{2} fra begge sider av ligningen.

$$z=-1 z=-2$$