Løs 3x^4+x^3+2x^2+4x-40

$$3 { x }^{ 4 } + { x }^{ 3 } +2 { x }^{ 2 } +4x-40$$

Faktoriser

$$\left(3x-5\right)\left(x+2\right)\left(x^{2}+4\right)$$

Løsningstrinn

Hvis du vil faktorisere uttrykket, må du løse ligningen der den er lik 0.

$$3x^{4}+x^{3}+2x^{2}+4x-40=0$$

Ifølge teoremet om rasjonale røtter er alle rasjonale røtter av et polynom i formen \frac{p}{q}, der p dividerer konstantleddet -40 og q dividerer den ledende koeffisienten 3. Vis alle kandidater \frac{p}{q}.

$$±\frac{40}{3},±40,±\frac{20}{3},±20,±\frac{10}{3},±10,±\frac{8}{3},±8,±\frac{5}{3},±5,±\frac{4}{3},±4,±\frac{2}{3},±2,±\frac{1}{3},±1$$

Finn én slik rot ved å prøve ut alle heltallsverdiene, fra den minste etter absolutt verdi. Hvis ingen heltallsrøtter blir funnet, kan du prøve ut brøker.

$$x=-2$$

Ifølge faktorteoremet er x-k en faktor av polynomet for hver rot k. Del 3x^{4}+x^{3}+2x^{2}+4x-40 på x+2 for å få 3x^{3}-5x^{2}+12x-20. Hvis du vil beregne resultatet, kan du løse formelen der den er lik 0.

$$3x^{3}-5x^{2}+12x-20=0$$

Ifølge teoremet om rasjonale røtter er alle rasjonale røtter av et polynom i formen \frac{p}{q}, der p dividerer konstantleddet -20 og q dividerer den ledende koeffisienten 3. Vis alle kandidater \frac{p}{q}.

$$±\frac{20}{3},±20,±\frac{10}{3},±10,±\frac{5}{3},±5,±\frac{4}{3},±4,±\frac{2}{3},±2,±\frac{1}{3},±1$$

Finn én slik rot ved å prøve ut alle heltallsverdiene, fra den minste etter absolutt verdi. Hvis ingen heltallsrøtter blir funnet, kan du prøve ut brøker.

$$x=\frac{5}{3}$$

Ifølge faktorteoremet er x-k en faktor av polynomet for hver rot k. Del 3x^{3}-5x^{2}+12x-20 på 3\left(x-\frac{5}{3}\right)=3x-5 for å få x^{2}+4. Hvis du vil beregne resultatet, kan du løse formelen der den er lik 0.

$$x^{2}+4=0$$

Alle ligningene av typen ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske ligningen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Erstatt 1 med a, 0 med b, og 4 med c i den kvadratiske ligningen.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 1\times 4}}{2}$$

Utfør beregningene.

$$x=\frac{0±\sqrt{-16}}{2}$$

Polynomet x^{2}+4 er ikke faktorisert fordi det ikke har noen rasjonelle røtter.

$$x^{2}+4$$

Skriv om det faktoriserte uttrykket på nytt ved hjelp av de hentede røttene.

$$\left(3x-5\right)\left(x+2\right)\left(x^{2}+4\right)$$

Evaluer

$$\left(3x-5\right)\left(x+2\right)\left(x^{2}+4\right)$$