Løs 3x^2-x-2=0

$$3 { x }^{ 2 } -x-2=0$$

Løs for x

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0,666666667$$

$$x=1$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som 3x^{2}+ax+bx-2. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=-1 ab=3\left(-2\right)=-6$$

Siden ab er negativ, a og b har motsatt tegn. Siden a+b er negativ, har negative tallet større absolutt verdi enn positiv. Vis alle slike hel talls par som gir produkt -6.

$$1,-6 2,-3$$

Beregn summen for hvert par.

$$1-6=-5 2-3=-1$$

Løsningen er paret som gir Summer -1.

$$a=-3 b=2$$

Skriv om 3x^{2}-x-2 som \left(3x^{2}-3x\right)+\left(2x-2\right).

$$\left(3x^{2}-3x\right)+\left(2x-2\right)$$

Faktor ut 3x i den første og 2 i den andre gruppen.

$$3x\left(x-1\right)+2\left(x-1\right)$$

Faktorer ut det felles leddet x-1 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(x-1\right)\left(3x+2\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse x-1=0 og 3x+2=0.

$$x=1 x=-\frac{2}{3}$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$3x^{2}-x-2=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 3 for a, -1 for b og -2 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 3\left(-2\right)}}{2\times 3}$$

Multipliser -4 ganger 3.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-12\left(-2\right)}}{2\times 3}$$

Multipliser -12 ganger -2.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+24}}{2\times 3}$$

Legg sammen 1 og 24.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{25}}{2\times 3}$$

Ta kvadratroten av 25.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±5}{2\times 3}$$

Det motsatte av -1 er 1.

$$x=\frac{1±5}{2\times 3}$$

Multipliser 2 ganger 3.

$$x=\frac{1±5}{6}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{1±5}{6} når ± er pluss. Legg sammen 1 og 5.

$$x=\frac{6}{6}$$

Del 6 på 6.

$$x=1$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{1±5}{6} når ± er minus. Trekk fra 5 fra 1.

$$x=-\frac{4}{6}$$

Forkort brøken \frac{-4}{6} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 2.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=1 x=-\frac{2}{3}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-x-2=0$$

Legg til 2 på begge sider av ligningen.

$$3x^{2}-x-2-\left(-2\right)=-\left(-2\right)$$

Når du trekker fra -2 fra seg selv har du 0 igjen.

$$3x^{2}-x=-\left(-2\right)$$

Trekk fra -2 fra 0.

$$3x^{2}-x=2$$

Del begge sidene på 3.

$$\frac{3x^{2}-x}{3}=\frac{2}{3}$$

Hvis du deler på 3, gjør du om gangingen med 3.

$$x^{2}-\frac{1}{3}x=\frac{2}{3}$$

Del -\frac{1}{3}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -\frac{1}{6}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -\frac{1}{6} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}-\frac{1}{3}x+\left(-\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{2}{3}+\left(-\frac{1}{6}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{1}{6} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=\frac{2}{3}+\frac{1}{36}$$

Legg sammen \frac{2}{3} og \frac{1}{36} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}-\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=\frac{25}{36}$$

Faktoriser x^{2}-\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{25}{36}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{36}}$$

Forenkle.

$$x-\frac{1}{6}=\frac{5}{6} x-\frac{1}{6}=-\frac{5}{6}$$

Legg til \frac{1}{6} på begge sider av ligningen.

$$x=1 x=-\frac{2}{3}$$