Løs 3x^2-8x-3=0

$$3 { x }^{ 2 } -8x-3=0$$

Løs for x

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

$$x=3$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som 3x^{2}+ax+bx-3. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=-8 ab=3\left(-3\right)=-9$$

Siden ab er negativ, a og b har motsatt tegn. Siden a+b er negativ, har negative tallet større absolutt verdi enn positiv. Vis alle slike hel talls par som gir produkt -9.

$$1,-9 3,-3$$

Beregn summen for hvert par.

$$1-9=-8 3-3=0$$

Løsningen er paret som gir Summer -8.

$$a=-9 b=1$$

Skriv om 3x^{2}-8x-3 som \left(3x^{2}-9x\right)+\left(x-3\right).

$$\left(3x^{2}-9x\right)+\left(x-3\right)$$

Faktorer ut 3x i 3x^{2}-9x.

$$3x\left(x-3\right)+x-3$$

Faktorer ut det felles leddet x-3 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(x-3\right)\left(3x+1\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse x-3=0 og 3x+1=0.

$$x=3 x=-\frac{1}{3}$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$3x^{2}-8x-3=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 3 for a, -8 for b og -3 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 3\left(-3\right)}}{2\times 3}$$

Kvadrer -8.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 3\left(-3\right)}}{2\times 3}$$

Multipliser -4 ganger 3.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-12\left(-3\right)}}{2\times 3}$$

Multipliser -12 ganger -3.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+36}}{2\times 3}$$

Legg sammen 64 og 36.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{100}}{2\times 3}$$

Ta kvadratroten av 100.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±10}{2\times 3}$$

Det motsatte av -8 er 8.

$$x=\frac{8±10}{2\times 3}$$

Multipliser 2 ganger 3.

$$x=\frac{8±10}{6}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{8±10}{6} når ± er pluss. Legg sammen 8 og 10.

$$x=\frac{18}{6}$$

Del 18 på 6.

$$x=3$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{8±10}{6} når ± er minus. Trekk fra 10 fra 8.

$$x=-\frac{2}{6}$$

Forkort brøken \frac{-2}{6} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 2.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=3 x=-\frac{1}{3}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-8x-3=0$$

Legg til 3 på begge sider av ligningen.

$$3x^{2}-8x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

Når du trekker fra -3 fra seg selv har du 0 igjen.

$$3x^{2}-8x=-\left(-3\right)$$

Trekk fra -3 fra 0.

$$3x^{2}-8x=3$$

Del begge sidene på 3.

$$\frac{3x^{2}-8x}{3}=\frac{3}{3}$$

Hvis du deler på 3, gjør du om gangingen med 3.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x=\frac{3}{3}$$

Del 3 på 3.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x=1$$

Del -\frac{8}{3}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -\frac{4}{3}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -\frac{4}{3} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}=1+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{4}{3} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=1+\frac{16}{9}$$

Legg sammen 1 og \frac{16}{9}.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{25}{9}$$

Faktoriser x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{25}{9}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{9}}$$

Forenkle.

$$x-\frac{4}{3}=\frac{5}{3} x-\frac{4}{3}=-\frac{5}{3}$$

Legg til \frac{4}{3} på begge sider av ligningen.

$$x=3 x=-\frac{1}{3}$$