Løs 3x^2-5x-4=0

$$3 { x }^{ 2 } -5x-4=0$$

Løs for x

$$x = \frac{\sqrt{73} + 5}{6} \approx 2,257333958$$

$$x=\frac{5-\sqrt{73}}{6}\approx -0,590667291$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$3x^{2}-5x-4=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 3 for a, -5 for b og -4 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 3\left(-4\right)}}{2\times 3}$$

Kvadrer -5.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 3\left(-4\right)}}{2\times 3}$$

Multipliser -4 ganger 3.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-12\left(-4\right)}}{2\times 3}$$

Multipliser -12 ganger -4.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+48}}{2\times 3}$$

Legg sammen 25 og 48.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{73}}{2\times 3}$$

Det motsatte av -5 er 5.

$$x=\frac{5±\sqrt{73}}{2\times 3}$$

Multipliser 2 ganger 3.

$$x=\frac{5±\sqrt{73}}{6}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{5±\sqrt{73}}{6} når ± er pluss. Legg sammen 5 og \sqrt{73}.

$$x=\frac{\sqrt{73}+5}{6}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{5±\sqrt{73}}{6} når ± er minus. Trekk fra \sqrt{73} fra 5.

$$x=\frac{5-\sqrt{73}}{6}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{\sqrt{73}+5}{6} x=\frac{5-\sqrt{73}}{6}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-5x-4=0$$

Legg til 4 på begge sider av ligningen.

$$3x^{2}-5x-4-\left(-4\right)=-\left(-4\right)$$

Når du trekker fra -4 fra seg selv har du 0 igjen.

$$3x^{2}-5x=-\left(-4\right)$$

Trekk fra -4 fra 0.

$$3x^{2}-5x=4$$

Del begge sidene på 3.

$$\frac{3x^{2}-5x}{3}=\frac{4}{3}$$

Hvis du deler på 3, gjør du om gangingen med 3.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x=\frac{4}{3}$$

Del -\frac{5}{3}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -\frac{5}{6}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -\frac{5}{6} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{4}{3}+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{5}{6} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{4}{3}+\frac{25}{36}$$

Legg sammen \frac{4}{3} og \frac{25}{36} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{73}{36}$$

Faktoriser x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{73}{36}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{73}{36}}$$

Forenkle.

$$x-\frac{5}{6}=\frac{\sqrt{73}}{6} x-\frac{5}{6}=-\frac{\sqrt{73}}{6}$$

Legg til \frac{5}{6} på begge sider av ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{73}+5}{6} x=\frac{5-\sqrt{73}}{6}$$