Løs 3x^2-5x-372=0

$$3 { x }^{ 2 } -5x-372=0$$

Løs for x

$$x = -\frac{31}{3} = -10\frac{1}{3} \approx -10,333333333$$

$$x=12$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

For å løse ligningen faktoriserer du venstre side ved å gruppere. Først må venstre side omskrives som 3x^{2}+ax+bx-372. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=-5 ab=3\left(-372\right)=-1116$$

Siden ab er negativ, a og b har motsatt tegn. Siden a+b er negativ, har negative tallet større absolutt verdi enn positiv. Vis alle slike hel talls par som gir produkt -1116.

$$1,-1116 2,-558 3,-372 4,-279 6,-186 9,-124 12,-93 18,-62 31,-36$$

Beregn summen for hvert par.

$$1-1116=-1115 2-558=-556 3-372=-369 4-279=-275 6-186=-180 9-124=-115 12-93=-81 18-62=-44 31-36=-5$$

Løsningen er paret som gir Summer -5.

$$a=-36 b=31$$

Skriv om 3x^{2}-5x-372 som \left(3x^{2}-36x\right)+\left(31x-372\right).

$$\left(3x^{2}-36x\right)+\left(31x-372\right)$$

Faktor ut 3x i den første og 31 i den andre gruppen.

$$3x\left(x-12\right)+31\left(x-12\right)$$

Faktorer ut det felles leddet x-12 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(x-12\right)\left(3x+31\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse x-12=0 og 3x+31=0.

$$x=12 x=-\frac{31}{3}$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$3x^{2}-5x-372=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 3 for a, -5 for b og -372 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 3\left(-372\right)}}{2\times 3}$$

Kvadrer -5.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 3\left(-372\right)}}{2\times 3}$$

Multipliser -4 ganger 3.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-12\left(-372\right)}}{2\times 3}$$

Multipliser -12 ganger -372.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+4464}}{2\times 3}$$

Legg sammen 25 og 4464.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{4489}}{2\times 3}$$

Ta kvadratroten av 4489.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±67}{2\times 3}$$

Det motsatte av -5 er 5.

$$x=\frac{5±67}{2\times 3}$$

Multipliser 2 ganger 3.

$$x=\frac{5±67}{6}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{5±67}{6} når ± er pluss. Legg sammen 5 og 67.

$$x=\frac{72}{6}$$

Del 72 på 6.

$$x=12$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{5±67}{6} når ± er minus. Trekk fra 67 fra 5.

$$x=-\frac{62}{6}$$

Forkort brøken \frac{-62}{6} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 2.

$$x=-\frac{31}{3}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=12 x=-\frac{31}{3}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-5x-372=0$$

Legg til 372 på begge sider av ligningen.

$$3x^{2}-5x-372-\left(-372\right)=-\left(-372\right)$$

Når du trekker fra -372 fra seg selv har du 0 igjen.

$$3x^{2}-5x=-\left(-372\right)$$

Trekk fra -372 fra 0.

$$3x^{2}-5x=372$$

Del begge sidene på 3.

$$\frac{3x^{2}-5x}{3}=\frac{372}{3}$$

Hvis du deler på 3, gjør du om gangingen med 3.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x=\frac{372}{3}$$

Del 372 på 3.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x=124$$

Divider -\frac{5}{3}, koeffisienten til leddet x, med 2 for å få -\frac{5}{6}. Legg deretter til kvadratet av -\frac{5}{6} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}=124+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{5}{6} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=124+\frac{25}{36}$$

Legg sammen 124 og \frac{25}{36}.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{4489}{36}$$

Faktoriser x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{4489}{36}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{4489}{36}}$$

Forenkle.

$$x-\frac{5}{6}=\frac{67}{6} x-\frac{5}{6}=-\frac{67}{6}$$

Legg til \frac{5}{6} på begge sider av ligningen.

$$x=12 x=-\frac{31}{3}$$