Løs 3x^2-5x-250=0

$$3 { x }^{ 2 } -5x-250=0$$

Løs for x

$$x = -\frac{25}{3} = -8\frac{1}{3} \approx -8,333333333$$

$$x=10$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som 3x^{2}+ax+bx-250. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=-5 ab=3\left(-250\right)=-750$$

Siden ab er negativ, a og b har motsatt tegn. Siden a+b er negativ, har negative tallet større absolutt verdi enn positiv. Vis alle slike hel talls par som gir produkt -750.

$$1,-750 2,-375 3,-250 5,-150 6,-125 10,-75 15,-50 25,-30$$

Beregn summen for hvert par.

$$1-750=-749 2-375=-373 3-250=-247 5-150=-145 6-125=-119 10-75=-65 15-50=-35 25-30=-5$$

Løsningen er paret som gir Summer -5.

$$a=-30 b=25$$

Skriv om 3x^{2}-5x-250 som \left(3x^{2}-30x\right)+\left(25x-250\right).

$$\left(3x^{2}-30x\right)+\left(25x-250\right)$$

Faktor ut 3x i den første og 25 i den andre gruppen.

$$3x\left(x-10\right)+25\left(x-10\right)$$

Faktorer ut det felles leddet x-10 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(x-10\right)\left(3x+25\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse x-10=0 og 3x+25=0.

$$x=10 x=-\frac{25}{3}$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$3x^{2}-5x-250=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 3 for a, -5 for b og -250 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 3\left(-250\right)}}{2\times 3}$$

Kvadrer -5.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 3\left(-250\right)}}{2\times 3}$$

Multipliser -4 ganger 3.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-12\left(-250\right)}}{2\times 3}$$

Multipliser -12 ganger -250.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+3000}}{2\times 3}$$

Legg sammen 25 og 3000.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{3025}}{2\times 3}$$

Ta kvadratroten av 3025.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±55}{2\times 3}$$

Det motsatte av -5 er 5.

$$x=\frac{5±55}{2\times 3}$$

Multipliser 2 ganger 3.

$$x=\frac{5±55}{6}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{5±55}{6} når ± er pluss. Legg sammen 5 og 55.

$$x=\frac{60}{6}$$

Del 60 på 6.

$$x=10$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{5±55}{6} når ± er minus. Trekk fra 55 fra 5.

$$x=-\frac{50}{6}$$

Forkort brøken \frac{-50}{6} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 2.

$$x=-\frac{25}{3}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=10 x=-\frac{25}{3}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-5x-250=0$$

Legg til 250 på begge sider av ligningen.

$$3x^{2}-5x-250-\left(-250\right)=-\left(-250\right)$$

Når du trekker fra -250 fra seg selv har du 0 igjen.

$$3x^{2}-5x=-\left(-250\right)$$

Trekk fra -250 fra 0.

$$3x^{2}-5x=250$$

Del begge sidene på 3.

$$\frac{3x^{2}-5x}{3}=\frac{250}{3}$$

Hvis du deler på 3, gjør du om gangingen med 3.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x=\frac{250}{3}$$

Del -\frac{5}{3}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -\frac{5}{6}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -\frac{5}{6} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{250}{3}+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{5}{6} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{250}{3}+\frac{25}{36}$$

Legg sammen \frac{250}{3} og \frac{25}{36} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{3025}{36}$$

Faktoriser x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{3025}{36}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{3025}{36}}$$

Forenkle.

$$x-\frac{5}{6}=\frac{55}{6} x-\frac{5}{6}=-\frac{55}{6}$$

Legg til \frac{5}{6} på begge sider av ligningen.

$$x=10 x=-\frac{25}{3}$$