Løs 3x^2-5x+2=0

$$3 { x }^{ 2 } -5x+2=0$$

Løs for x

$$x=1$$

$$x=\frac{2}{3}\approx 0,666666667$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

For å løse ligningen faktoriserer du venstre side ved å gruppere. Først må venstre side omskrives som 3x^{2}+ax+bx+2. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=-5 ab=3\times 2=6$$

Siden ab er positiv, a og b har samme fortegn. Siden a+b er negativ, er både a og b negative. Vis alle slike hel talls par som gir produkt 6.

$$-1,-6 -2,-3$$

Beregn summen for hvert par.

$$-1-6=-7 -2-3=-5$$

Løsningen er paret som gir Summer -5.

$$a=-3 b=-2$$

Skriv om 3x^{2}-5x+2 som \left(3x^{2}-3x\right)+\left(-2x+2\right).

$$\left(3x^{2}-3x\right)+\left(-2x+2\right)$$

Faktor ut 3x i den første og -2 i den andre gruppen.

$$3x\left(x-1\right)-2\left(x-1\right)$$

Faktorer ut det felles leddet x-1 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(x-1\right)\left(3x-2\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse x-1=0 og 3x-2=0.

$$x=1 x=\frac{2}{3}$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$3x^{2}-5x+2=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 3 for a, -5 for b og 2 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 3\times 2}}{2\times 3}$$

Kvadrer -5.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 3\times 2}}{2\times 3}$$

Multipliser -4 ganger 3.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-12\times 2}}{2\times 3}$$

Multipliser -12 ganger 2.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-24}}{2\times 3}$$

Legg sammen 25 og -24.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{1}}{2\times 3}$$

Ta kvadratroten av 1.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±1}{2\times 3}$$

Det motsatte av -5 er 5.

$$x=\frac{5±1}{2\times 3}$$

Multipliser 2 ganger 3.

$$x=\frac{5±1}{6}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{5±1}{6} når ± er pluss. Legg sammen 5 og 1.

$$x=\frac{6}{6}$$

Del 6 på 6.

$$x=1$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{5±1}{6} når ± er minus. Trekk fra 1 fra 5.

$$x=\frac{4}{6}$$

Forkort brøken \frac{4}{6} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 2.

$$x=\frac{2}{3}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=1 x=\frac{2}{3}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-5x+2=0$$

Trekk fra 2 fra begge sider av ligningen.

$$3x^{2}-5x+2-2=-2$$

Når du trekker fra 2 fra seg selv har du 0 igjen.

$$3x^{2}-5x=-2$$

Del begge sidene på 3.

$$\frac{3x^{2}-5x}{3}=-\frac{2}{3}$$

Hvis du deler på 3, gjør du om gangingen med 3.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x=-\frac{2}{3}$$

Divider -\frac{5}{3}, koeffisienten til leddet x, med 2 for å få -\frac{5}{6}. Legg deretter til kvadratet av -\frac{5}{6} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}=-\frac{2}{3}+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{5}{6} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=-\frac{2}{3}+\frac{25}{36}$$

Legg sammen -\frac{2}{3} og \frac{25}{36} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{1}{36}$$

Faktoriser x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{1}{36}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{36}}$$

Forenkle.

$$x-\frac{5}{6}=\frac{1}{6} x-\frac{5}{6}=-\frac{1}{6}$$

Legg til \frac{5}{6} på begge sider av ligningen.

$$x=1 x=\frac{2}{3}$$