Løs 3x^2-4x-9=0

$$3 { x }^{ 2 } -4x-9=0$$

Løs for x

$$x = \frac{\sqrt{31} + 2}{3} \approx 2,522588121$$

$$x=\frac{2-\sqrt{31}}{3}\approx -1,189254788$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$3x^{2}-4x-9=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 3 for a, -4 for b og -9 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 3\left(-9\right)}}{2\times 3}$$

Kvadrer -4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 3\left(-9\right)}}{2\times 3}$$

Multipliser -4 ganger 3.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-12\left(-9\right)}}{2\times 3}$$

Multipliser -12 ganger -9.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+108}}{2\times 3}$$

Legg sammen 16 og 108.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{124}}{2\times 3}$$

Ta kvadratroten av 124.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±2\sqrt{31}}{2\times 3}$$

Det motsatte av -4 er 4.

$$x=\frac{4±2\sqrt{31}}{2\times 3}$$

Multipliser 2 ganger 3.

$$x=\frac{4±2\sqrt{31}}{6}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{4±2\sqrt{31}}{6} når ± er pluss. Legg sammen 4 og 2\sqrt{31}.

$$x=\frac{2\sqrt{31}+4}{6}$$

Del 4+2\sqrt{31} på 6.

$$x=\frac{\sqrt{31}+2}{3}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{4±2\sqrt{31}}{6} når ± er minus. Trekk fra 2\sqrt{31} fra 4.

$$x=\frac{4-2\sqrt{31}}{6}$$

Del 4-2\sqrt{31} på 6.

$$x=\frac{2-\sqrt{31}}{3}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{\sqrt{31}+2}{3} x=\frac{2-\sqrt{31}}{3}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-4x-9=0$$

Legg til 9 på begge sider av ligningen.

$$3x^{2}-4x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

Når du trekker fra -9 fra seg selv har du 0 igjen.

$$3x^{2}-4x=-\left(-9\right)$$

Trekk fra -9 fra 0.

$$3x^{2}-4x=9$$

Del begge sidene på 3.

$$\frac{3x^{2}-4x}{3}=\frac{9}{3}$$

Hvis du deler på 3, gjør du om gangingen med 3.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x=\frac{9}{3}$$

Del 9 på 3.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x=3$$

Del -\frac{4}{3}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -\frac{2}{3}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -\frac{2}{3} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=3+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{2}{3} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=3+\frac{4}{9}$$

Legg sammen 3 og \frac{4}{9}.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{31}{9}$$

Faktoriser x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{31}{9}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{31}{9}}$$

Forenkle.

$$x-\frac{2}{3}=\frac{\sqrt{31}}{3} x-\frac{2}{3}=-\frac{\sqrt{31}}{3}$$

Legg til \frac{2}{3} på begge sider av ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{31}+2}{3} x=\frac{2-\sqrt{31}}{3}$$