Løs 3x^2-31x-60=0

$$3 { x }^{ 2 } -31x-60=0$$

Løs for x

$$x = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1,666666667$$

$$x=12$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som 3x^{2}+ax+bx-60. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=-31 ab=3\left(-60\right)=-180$$

Siden ab er negativ, a og b har motsatt tegn. Siden a+b er negativ, har negative tallet større absolutt verdi enn positiv. Vis alle slike hel talls par som gir produkt -180.

$$1,-180 2,-90 3,-60 4,-45 5,-36 6,-30 9,-20 10,-18 12,-15$$

Beregn summen for hvert par.

$$1-180=-179 2-90=-88 3-60=-57 4-45=-41 5-36=-31 6-30=-24 9-20=-11 10-18=-8 12-15=-3$$

Løsningen er paret som gir Summer -31.

$$a=-36 b=5$$

Skriv om 3x^{2}-31x-60 som \left(3x^{2}-36x\right)+\left(5x-60\right).

$$\left(3x^{2}-36x\right)+\left(5x-60\right)$$

Faktor ut 3x i den første og 5 i den andre gruppen.

$$3x\left(x-12\right)+5\left(x-12\right)$$

Faktorer ut det felles leddet x-12 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(x-12\right)\left(3x+5\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse x-12=0 og 3x+5=0.

$$x=12 x=-\frac{5}{3}$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$3x^{2}-31x-60=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 3 for a, -31 for b og -60 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{\left(-31\right)^{2}-4\times 3\left(-60\right)}}{2\times 3}$$

Kvadrer -31.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961-4\times 3\left(-60\right)}}{2\times 3}$$

Multipliser -4 ganger 3.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961-12\left(-60\right)}}{2\times 3}$$

Multipliser -12 ganger -60.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961+720}}{2\times 3}$$

Legg sammen 961 og 720.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{1681}}{2\times 3}$$

Ta kvadratroten av 1681.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±41}{2\times 3}$$

Det motsatte av -31 er 31.

$$x=\frac{31±41}{2\times 3}$$

Multipliser 2 ganger 3.

$$x=\frac{31±41}{6}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{31±41}{6} når ± er pluss. Legg sammen 31 og 41.

$$x=\frac{72}{6}$$

Del 72 på 6.

$$x=12$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{31±41}{6} når ± er minus. Trekk fra 41 fra 31.

$$x=-\frac{10}{6}$$

Forkort brøken \frac{-10}{6} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 2.

$$x=-\frac{5}{3}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=12 x=-\frac{5}{3}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-31x-60=0$$

Legg til 60 på begge sider av ligningen.

$$3x^{2}-31x-60-\left(-60\right)=-\left(-60\right)$$

Når du trekker fra -60 fra seg selv har du 0 igjen.

$$3x^{2}-31x=-\left(-60\right)$$

Trekk fra -60 fra 0.

$$3x^{2}-31x=60$$

Del begge sidene på 3.

$$\frac{3x^{2}-31x}{3}=\frac{60}{3}$$

Hvis du deler på 3, gjør du om gangingen med 3.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x=\frac{60}{3}$$

Del 60 på 3.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x=20$$

Del -\frac{31}{3}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -\frac{31}{6}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -\frac{31}{6} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x+\left(-\frac{31}{6}\right)^{2}=20+\left(-\frac{31}{6}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{31}{6} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x+\frac{961}{36}=20+\frac{961}{36}$$

Legg sammen 20 og \frac{961}{36}.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x+\frac{961}{36}=\frac{1681}{36}$$

Faktoriser x^{2}-\frac{31}{3}x+\frac{961}{36}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{31}{6}\right)^{2}=\frac{1681}{36}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{31}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1681}{36}}$$

Forenkle.

$$x-\frac{31}{6}=\frac{41}{6} x-\frac{31}{6}=-\frac{41}{6}$$

Legg til \frac{31}{6} på begge sider av ligningen.

$$x=12 x=-\frac{5}{3}$$