Løs 3x^2-2x-9=0

$$3 { x }^{ 2 } -2x-9 = 0$$

Løs for x

$$x = \frac{2 \sqrt{7} + 1}{3} \approx 2,097167541$$

$$x=\frac{1-2\sqrt{7}}{3}\approx -1,430500874$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$3x^{2}-2x-9=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 3 for a, -2 for b og -9 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 3\left(-9\right)}}{2\times 3}$$

Kvadrer -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 3\left(-9\right)}}{2\times 3}$$

Multipliser -4 ganger 3.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-12\left(-9\right)}}{2\times 3}$$

Multipliser -12 ganger -9.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+108}}{2\times 3}$$

Legg sammen 4 og 108.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{112}}{2\times 3}$$

Ta kvadratroten av 112.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±4\sqrt{7}}{2\times 3}$$

Det motsatte av -2 er 2.

$$x=\frac{2±4\sqrt{7}}{2\times 3}$$

Multipliser 2 ganger 3.

$$x=\frac{2±4\sqrt{7}}{6}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{2±4\sqrt{7}}{6} når ± er pluss. Legg sammen 2 og 4\sqrt{7}.

$$x=\frac{4\sqrt{7}+2}{6}$$

Del 2+4\sqrt{7} på 6.

$$x=\frac{2\sqrt{7}+1}{3}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{2±4\sqrt{7}}{6} når ± er minus. Trekk fra 4\sqrt{7} fra 2.

$$x=\frac{2-4\sqrt{7}}{6}$$

Del 2-4\sqrt{7} på 6.

$$x=\frac{1-2\sqrt{7}}{3}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{2\sqrt{7}+1}{3} x=\frac{1-2\sqrt{7}}{3}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-2x-9=0$$

Legg til 9 på begge sider av ligningen.

$$3x^{2}-2x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

Når du trekker fra -9 fra seg selv har du 0 igjen.

$$3x^{2}-2x=-\left(-9\right)$$

Trekk fra -9 fra 0.

$$3x^{2}-2x=9$$

Del begge sidene på 3.

$$\frac{3x^{2}-2x}{3}=\frac{9}{3}$$

Hvis du deler på 3, gjør du om gangingen med 3.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=\frac{9}{3}$$

Del 9 på 3.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=3$$

Divider -\frac{2}{3}, koeffisienten til leddet x, med 2 for å få -\frac{1}{3}. Legg deretter til kvadratet av -\frac{1}{3} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=3+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{1}{3} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=3+\frac{1}{9}$$

Legg sammen 3 og \frac{1}{9}.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{28}{9}$$

Faktoriser x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{28}{9}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{28}{9}}$$

Forenkle.

$$x-\frac{1}{3}=\frac{2\sqrt{7}}{3} x-\frac{1}{3}=-\frac{2\sqrt{7}}{3}$$

Legg til \frac{1}{3} på begge sider av ligningen.

$$x=\frac{2\sqrt{7}+1}{3} x=\frac{1-2\sqrt{7}}{3}$$