Løs 3x^2-19x-18=0

$$3 { x }^{ 2 } -19x-18=0$$

Løs for x

$$x = \frac{\sqrt{577} + 19}{6} \approx 7,170137383$$

$$x=\frac{19-\sqrt{577}}{6}\approx -0,83680405$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$3x^{2}-19x-18=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 3 for a, -19 for b og -18 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{\left(-19\right)^{2}-4\times 3\left(-18\right)}}{2\times 3}$$

Kvadrer -19.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-4\times 3\left(-18\right)}}{2\times 3}$$

Multipliser -4 ganger 3.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-12\left(-18\right)}}{2\times 3}$$

Multipliser -12 ganger -18.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361+216}}{2\times 3}$$

Legg sammen 361 og 216.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{577}}{2\times 3}$$

Det motsatte av -19 er 19.

$$x=\frac{19±\sqrt{577}}{2\times 3}$$

Multipliser 2 ganger 3.

$$x=\frac{19±\sqrt{577}}{6}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{19±\sqrt{577}}{6} når ± er pluss. Legg sammen 19 og \sqrt{577}.

$$x=\frac{\sqrt{577}+19}{6}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{19±\sqrt{577}}{6} når ± er minus. Trekk fra \sqrt{577} fra 19.

$$x=\frac{19-\sqrt{577}}{6}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{\sqrt{577}+19}{6} x=\frac{19-\sqrt{577}}{6}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-19x-18=0$$

Legg til 18 på begge sider av ligningen.

$$3x^{2}-19x-18-\left(-18\right)=-\left(-18\right)$$

Når du trekker fra -18 fra seg selv har du 0 igjen.

$$3x^{2}-19x=-\left(-18\right)$$

Trekk fra -18 fra 0.

$$3x^{2}-19x=18$$

Del begge sidene på 3.

$$\frac{3x^{2}-19x}{3}=\frac{18}{3}$$

Hvis du deler på 3, gjør du om gangingen med 3.

$$x^{2}-\frac{19}{3}x=\frac{18}{3}$$

Del 18 på 3.

$$x^{2}-\frac{19}{3}x=6$$

Del -\frac{19}{3}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -\frac{19}{6}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -\frac{19}{6} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}-\frac{19}{3}x+\left(-\frac{19}{6}\right)^{2}=6+\left(-\frac{19}{6}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{19}{6} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{19}{3}x+\frac{361}{36}=6+\frac{361}{36}$$

Legg sammen 6 og \frac{361}{36}.

$$x^{2}-\frac{19}{3}x+\frac{361}{36}=\frac{577}{36}$$

Faktoriser x^{2}-\frac{19}{3}x+\frac{361}{36}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{19}{6}\right)^{2}=\frac{577}{36}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{19}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{577}{36}}$$

Forenkle.

$$x-\frac{19}{6}=\frac{\sqrt{577}}{6} x-\frac{19}{6}=-\frac{\sqrt{577}}{6}$$

Legg til \frac{19}{6} på begge sider av ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{577}+19}{6} x=\frac{19-\sqrt{577}}{6}$$