Løs 3x^2-10x-8=0

$$3 { x }^{ 2 } -10x-8=0$$

Løs for x

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0,666666667$$

$$x=4$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

For å løse ligningen faktoriserer du venstre side ved å gruppere. Først må venstre side omskrives som 3x^{2}+ax+bx-8. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=-10 ab=3\left(-8\right)=-24$$

Siden ab er negativ, a og b har motsatt tegn. Siden a+b er negativ, har negative tallet større absolutt verdi enn positiv. Vis alle slike hel talls par som gir produkt -24.

$$1,-24 2,-12 3,-8 4,-6$$

Beregn summen for hvert par.

$$1-24=-23 2-12=-10 3-8=-5 4-6=-2$$

Løsningen er paret som gir Summer -10.

$$a=-12 b=2$$

Skriv om 3x^{2}-10x-8 som \left(3x^{2}-12x\right)+\left(2x-8\right).

$$\left(3x^{2}-12x\right)+\left(2x-8\right)$$

Faktor ut 3x i den første og 2 i den andre gruppen.

$$3x\left(x-4\right)+2\left(x-4\right)$$

Faktorer ut det felles leddet x-4 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(x-4\right)\left(3x+2\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse x-4=0 og 3x+2=0.

$$x=4 x=-\frac{2}{3}$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$3x^{2}-10x-8=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 3 for a, -10 for b og -8 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 3\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

Kvadrer -10.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 3\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

Multipliser -4 ganger 3.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-12\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

Multipliser -12 ganger -8.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100+96}}{2\times 3}$$

Legg sammen 100 og 96.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{196}}{2\times 3}$$

Ta kvadratroten av 196.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±14}{2\times 3}$$

Det motsatte av -10 er 10.

$$x=\frac{10±14}{2\times 3}$$

Multipliser 2 ganger 3.

$$x=\frac{10±14}{6}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{10±14}{6} når ± er pluss. Legg sammen 10 og 14.

$$x=\frac{24}{6}$$

Del 24 på 6.

$$x=4$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{10±14}{6} når ± er minus. Trekk fra 14 fra 10.

$$x=-\frac{4}{6}$$

Forkort brøken \frac{-4}{6} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 2.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=4 x=-\frac{2}{3}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-10x-8=0$$

Legg til 8 på begge sider av ligningen.

$$3x^{2}-10x-8-\left(-8\right)=-\left(-8\right)$$

Når du trekker fra -8 fra seg selv har du 0 igjen.

$$3x^{2}-10x=-\left(-8\right)$$

Trekk fra -8 fra 0.

$$3x^{2}-10x=8$$

Del begge sidene på 3.

$$\frac{3x^{2}-10x}{3}=\frac{8}{3}$$

Hvis du deler på 3, gjør du om gangingen med 3.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x=\frac{8}{3}$$

Divider -\frac{10}{3}, koeffisienten til leddet x, med 2 for å få -\frac{5}{3}. Legg deretter til kvadratet av -\frac{5}{3} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\left(-\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{8}{3}+\left(-\frac{5}{3}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{5}{3} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=\frac{8}{3}+\frac{25}{9}$$

Legg sammen \frac{8}{3} og \frac{25}{9} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=\frac{49}{9}$$

Faktoriser x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{49}{9}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{9}}$$

Forenkle.

$$x-\frac{5}{3}=\frac{7}{3} x-\frac{5}{3}=-\frac{7}{3}$$

Legg til \frac{5}{3} på begge sider av ligningen.

$$x=4 x=-\frac{2}{3}$$