Løs 3x^2+8x-3=65

$$3 { x }^{ 2 } +8x-3=65$$

Løs for x

$$x = \frac{2 \sqrt{55} - 4}{3} \approx 3,610798991$$

$$x=\frac{-2\sqrt{55}-4}{3}\approx -6,277465658$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$3x^{2}+8x-3=65$$

Trekk fra 65 fra begge sider av ligningen.

$$3x^{2}+8x-3-65=65-65$$

Når du trekker fra 65 fra seg selv har du 0 igjen.

$$3x^{2}+8x-3-65=0$$

Trekk fra 65 fra -3.

$$3x^{2}+8x-68=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 3 for a, 8 for b og -68 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 3\left(-68\right)}}{2\times 3}$$

Kvadrer 8.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\times 3\left(-68\right)}}{2\times 3}$$

Multipliser -4 ganger 3.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-12\left(-68\right)}}{2\times 3}$$

Multipliser -12 ganger -68.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64+816}}{2\times 3}$$

Legg sammen 64 og 816.

$$x=\frac{-8±\sqrt{880}}{2\times 3}$$

Ta kvadratroten av 880.

$$x=\frac{-8±4\sqrt{55}}{2\times 3}$$

Multipliser 2 ganger 3.

$$x=\frac{-8±4\sqrt{55}}{6}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-8±4\sqrt{55}}{6} når ± er pluss. Legg sammen -8 og 4\sqrt{55}.

$$x=\frac{4\sqrt{55}-8}{6}$$

Del -8+4\sqrt{55} på 6.

$$x=\frac{2\sqrt{55}-4}{3}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-8±4\sqrt{55}}{6} når ± er minus. Trekk fra 4\sqrt{55} fra -8.

$$x=\frac{-4\sqrt{55}-8}{6}$$

Del -8-4\sqrt{55} på 6.

$$x=\frac{-2\sqrt{55}-4}{3}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{2\sqrt{55}-4}{3} x=\frac{-2\sqrt{55}-4}{3}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+8x-3=65$$

Legg til 3 på begge sider av ligningen.

$$3x^{2}+8x-3-\left(-3\right)=65-\left(-3\right)$$

Når du trekker fra -3 fra seg selv har du 0 igjen.

$$3x^{2}+8x=65-\left(-3\right)$$

Trekk fra -3 fra 65.

$$3x^{2}+8x=68$$

Del begge sidene på 3.

$$\frac{3x^{2}+8x}{3}=\frac{68}{3}$$

Hvis du deler på 3, gjør du om gangingen med 3.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x=\frac{68}{3}$$

Del \frac{8}{3}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få \frac{4}{3}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av \frac{4}{3} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{68}{3}+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}$$

Kvadrer \frac{4}{3} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{68}{3}+\frac{16}{9}$$

Legg sammen \frac{68}{3} og \frac{16}{9} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{220}{9}$$

Faktoriser x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{220}{9}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{220}{9}}$$

Forenkle.

$$x+\frac{4}{3}=\frac{2\sqrt{55}}{3} x+\frac{4}{3}=-\frac{2\sqrt{55}}{3}$$

Trekk fra \frac{4}{3} fra begge sider av ligningen.

$$x=\frac{2\sqrt{55}-4}{3} x=\frac{-2\sqrt{55}-4}{3}$$