Løs 3x^2+5x=138

$$3 { x }^{ 2 } +5x=138$$

Løs for x

$$x = -\frac{23}{3} = -7\frac{2}{3} \approx -7,666666667$$

$$x=6$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

Trekk fra 138 fra begge sider.

$$3x^{2}+5x-138=0$$

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som 3x^{2}+ax+bx-138. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=5 ab=3\left(-138\right)=-414$$

Siden ab er negativ, a og b har motsatt tegn. Siden a+b er positiv, har det positive tallet større absolutt verdi enn det negative. Vis alle slike hel talls par som gir produkt -414.

$$-1,414 -2,207 -3,138 -6,69 -9,46 -18,23$$

Beregn summen for hvert par.

$$-1+414=413 -2+207=205 -3+138=135 -6+69=63 -9+46=37 -18+23=5$$

Løsningen er paret som gir Summer 5.

$$a=-18 b=23$$

Skriv om 3x^{2}+5x-138 som \left(3x^{2}-18x\right)+\left(23x-138\right).

$$\left(3x^{2}-18x\right)+\left(23x-138\right)$$

Faktor ut 3x i den første og 23 i den andre gruppen.

$$3x\left(x-6\right)+23\left(x-6\right)$$

Faktorer ut det felles leddet x-6 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(x-6\right)\left(3x+23\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse x-6=0 og 3x+23=0.

$$x=6 x=-\frac{23}{3}$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$3x^{2}+5x=138$$

Trekk fra 138 fra begge sider av ligningen.

$$3x^{2}+5x-138=138-138$$

Når du trekker fra 138 fra seg selv har du 0 igjen.

$$3x^{2}+5x-138=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 3 for a, 5 for b og -138 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 3\left(-138\right)}}{2\times 3}$$

Kvadrer 5.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 3\left(-138\right)}}{2\times 3}$$

Multipliser -4 ganger 3.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-12\left(-138\right)}}{2\times 3}$$

Multipliser -12 ganger -138.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+1656}}{2\times 3}$$

Legg sammen 25 og 1656.

$$x=\frac{-5±\sqrt{1681}}{2\times 3}$$

Ta kvadratroten av 1681.

$$x=\frac{-5±41}{2\times 3}$$

Multipliser 2 ganger 3.

$$x=\frac{-5±41}{6}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-5±41}{6} når ± er pluss. Legg sammen -5 og 41.

$$x=\frac{36}{6}$$

Del 36 på 6.

$$x=6$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-5±41}{6} når ± er minus. Trekk fra 41 fra -5.

$$x=-\frac{46}{6}$$

Forkort brøken \frac{-46}{6} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 2.

$$x=-\frac{23}{3}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=6 x=-\frac{23}{3}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+5x=138$$

Del begge sidene på 3.

$$\frac{3x^{2}+5x}{3}=\frac{138}{3}$$

Hvis du deler på 3, gjør du om gangingen med 3.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x=\frac{138}{3}$$

Del 138 på 3.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x=46$$

Del \frac{5}{3}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få \frac{5}{6}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av \frac{5}{6} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}=46+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}$$

Kvadrer \frac{5}{6} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=46+\frac{25}{36}$$

Legg sammen 46 og \frac{25}{36}.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{1681}{36}$$

Faktoriser x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{1681}{36}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1681}{36}}$$

Forenkle.

$$x+\frac{5}{6}=\frac{41}{6} x+\frac{5}{6}=-\frac{41}{6}$$

Trekk fra \frac{5}{6} fra begge sider av ligningen.

$$x=6 x=-\frac{23}{3}$$