Løs 3x^2+4x+1=0

$$3 { x }^{ 2 } +4x+1=0$$

Løs for x

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

$$x=-1$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som 3x^{2}+ax+bx+1. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=4 ab=3\times 1=3$$

Siden ab er positiv, a og b har samme fortegn. Siden a+b er positiv, er a og b positive. Det eneste paret er system løsningen.

$$a=1 b=3$$

Skriv om 3x^{2}+4x+1 som \left(3x^{2}+x\right)+\left(3x+1\right).

$$\left(3x^{2}+x\right)+\left(3x+1\right)$$

Faktorer ut x i 3x^{2}+x.

$$x\left(3x+1\right)+3x+1$$

Faktorer ut det felles leddet 3x+1 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(3x+1\right)\left(x+1\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse 3x+1=0 og x+1=0.

$$x=-\frac{1}{3} x=-1$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$3x^{2}+4x+1=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 3 for a, 4 for b og 1 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 3}}{2\times 3}$$

Kvadrer 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 3}}{2\times 3}$$

Multipliser -4 ganger 3.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-12}}{2\times 3}$$

Legg sammen 16 og -12.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4}}{2\times 3}$$

Ta kvadratroten av 4.

$$x=\frac{-4±2}{2\times 3}$$

Multipliser 2 ganger 3.

$$x=\frac{-4±2}{6}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-4±2}{6} når ± er pluss. Legg sammen -4 og 2.

$$x=-\frac{2}{6}$$

Forkort brøken \frac{-2}{6} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 2.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-4±2}{6} når ± er minus. Trekk fra 2 fra -4.

$$x=-\frac{6}{6}$$

Del -6 på 6.

$$x=-1$$

Ligningen er nå løst.

$$x=-\frac{1}{3} x=-1$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+4x+1=0$$

Trekk fra 1 fra begge sider av ligningen.

$$3x^{2}+4x+1-1=-1$$

Når du trekker fra 1 fra seg selv har du 0 igjen.

$$3x^{2}+4x=-1$$

Del begge sidene på 3.

$$\frac{3x^{2}+4x}{3}=-\frac{1}{3}$$

Hvis du deler på 3, gjør du om gangingen med 3.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x=-\frac{1}{3}$$

Del \frac{4}{3}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få \frac{2}{3}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av \frac{2}{3} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}=-\frac{1}{3}+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Kvadrer \frac{2}{3} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=-\frac{1}{3}+\frac{4}{9}$$

Legg sammen -\frac{1}{3} og \frac{4}{9} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{1}{9}$$

Faktoriser x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{1}{9}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{9}}$$

Forenkle.

$$x+\frac{2}{3}=\frac{1}{3} x+\frac{2}{3}=-\frac{1}{3}$$

Trekk fra \frac{2}{3} fra begge sider av ligningen.

$$x=-\frac{1}{3} x=-1$$