Løs 3x^2+3x+5=0

$$3 { x }^{ 2 } +3x+5=0$$

Løs for x (complex solution)

$$x=\frac{\sqrt{51}i}{6}-\frac{1}{2}\approx -0,5+1,190238071i$$

$$x=-\frac{\sqrt{51}i}{6}-\frac{1}{2}\approx -0,5-1,190238071i$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$3x^{2}+3x+5=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 3 for a, 3 for b og 5 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 3\times 5}}{2\times 3}$$

Kvadrer 3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 3\times 5}}{2\times 3}$$

Multipliser -4 ganger 3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-12\times 5}}{2\times 3}$$

Multipliser -12 ganger 5.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-60}}{2\times 3}$$

Legg sammen 9 og -60.

$$x=\frac{-3±\sqrt{-51}}{2\times 3}$$

Ta kvadratroten av -51.

$$x=\frac{-3±\sqrt{51}i}{2\times 3}$$

Multipliser 2 ganger 3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{51}i}{6}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-3±\sqrt{51}i}{6} når ± er pluss. Legg sammen -3 og i\sqrt{51}.

$$x=\frac{-3+\sqrt{51}i}{6}$$

Del -3+i\sqrt{51} på 6.

$$x=\frac{\sqrt{51}i}{6}-\frac{1}{2}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-3±\sqrt{51}i}{6} når ± er minus. Trekk fra i\sqrt{51} fra -3.

$$x=\frac{-\sqrt{51}i-3}{6}$$

Del -3-i\sqrt{51} på 6.

$$x=-\frac{\sqrt{51}i}{6}-\frac{1}{2}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{\sqrt{51}i}{6}-\frac{1}{2} x=-\frac{\sqrt{51}i}{6}-\frac{1}{2}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+3x+5=0$$

Trekk fra 5 fra begge sider av ligningen.

$$3x^{2}+3x+5-5=-5$$

Når du trekker fra 5 fra seg selv har du 0 igjen.

$$3x^{2}+3x=-5$$

Del begge sidene på 3.

$$\frac{3x^{2}+3x}{3}=-\frac{5}{3}$$

Hvis du deler på 3, gjør du om gangingen med 3.

$$x^{2}+\frac{3}{3}x=-\frac{5}{3}$$

Del 3 på 3.

$$x^{2}+x=-\frac{5}{3}$$

Del 1, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få \frac{1}{2}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av \frac{1}{2} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{5}{3}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Kvadrer \frac{1}{2} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{5}{3}+\frac{1}{4}$$

Legg sammen -\frac{5}{3} og \frac{1}{4} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{17}{12}$$

Faktoriser x^{2}+x+\frac{1}{4}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{17}{12}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{17}{12}}$$

Forenkle.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{51}i}{6} x+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{51}i}{6}$$

Trekk fra \frac{1}{2} fra begge sider av ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{51}i}{6}-\frac{1}{2} x=-\frac{\sqrt{51}i}{6}-\frac{1}{2}$$