Løs 3x^2+2x+15=9

$$3 { x }^{ 2 } +2x+15=9$$

Løs for x (complex solution)

$$x=\frac{-1+\sqrt{17}i}{3}\approx -0,333333333+1,374368542i$$

$$x=\frac{-\sqrt{17}i-1}{3}\approx -0,333333333-1,374368542i$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$3x^{2}+2x+15=9$$

Trekk fra 9 fra begge sider av ligningen.

$$3x^{2}+2x+15-9=9-9$$

Når du trekker fra 9 fra seg selv har du 0 igjen.

$$3x^{2}+2x+15-9=0$$

Trekk fra 9 fra 15.

$$3x^{2}+2x+6=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 3 for a, 2 for b og 6 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 3\times 6}}{2\times 3}$$

Kvadrer 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 3\times 6}}{2\times 3}$$

Multipliser -4 ganger 3.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-12\times 6}}{2\times 3}$$

Multipliser -12 ganger 6.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-72}}{2\times 3}$$

Legg sammen 4 og -72.

$$x=\frac{-2±\sqrt{-68}}{2\times 3}$$

Ta kvadratroten av -68.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{17}i}{2\times 3}$$

Multipliser 2 ganger 3.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{17}i}{6}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-2±2\sqrt{17}i}{6} når ± er pluss. Legg sammen -2 og 2i\sqrt{17}.

$$x=\frac{-2+2\sqrt{17}i}{6}$$

Del -2+2i\sqrt{17} på 6.

$$x=\frac{-1+\sqrt{17}i}{3}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-2±2\sqrt{17}i}{6} når ± er minus. Trekk fra 2i\sqrt{17} fra -2.

$$x=\frac{-2\sqrt{17}i-2}{6}$$

Del -2-2i\sqrt{17} på 6.

$$x=\frac{-\sqrt{17}i-1}{3}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{-1+\sqrt{17}i}{3} x=\frac{-\sqrt{17}i-1}{3}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+2x+15=9$$

Trekk fra 15 fra begge sider av ligningen.

$$3x^{2}+2x+15-15=9-15$$

Når du trekker fra 15 fra seg selv har du 0 igjen.

$$3x^{2}+2x=9-15$$

Trekk fra 15 fra 9.

$$3x^{2}+2x=-6$$

Del begge sidene på 3.

$$\frac{3x^{2}+2x}{3}=-\frac{6}{3}$$

Hvis du deler på 3, gjør du om gangingen med 3.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x=-\frac{6}{3}$$

Del -6 på 3.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x=-2$$

Del \frac{2}{3}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få \frac{1}{3}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av \frac{1}{3} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=-2+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Kvadrer \frac{1}{3} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-2+\frac{1}{9}$$

Legg sammen -2 og \frac{1}{9}.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-\frac{17}{9}$$

Faktoriser x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{17}{9}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{17}{9}}$$

Forenkle.

$$x+\frac{1}{3}=\frac{\sqrt{17}i}{3} x+\frac{1}{3}=-\frac{\sqrt{17}i}{3}$$

Trekk fra \frac{1}{3} fra begge sider av ligningen.

$$x=\frac{-1+\sqrt{17}i}{3} x=\frac{-\sqrt{17}i-1}{3}$$