Løs 3x^2+17x+10=0

$$3 { x }^{ 2 } +17x+10=0$$

Løs for x

$$x=-5$$

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0,666666667$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

For å løse ligningen faktoriserer du venstre side ved å gruppere. Først må venstre side omskrives som 3x^{2}+ax+bx+10. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=17 ab=3\times 10=30$$

Siden ab er positiv, a og b har samme fortegn. Siden a+b er positiv, er a og b positive. Vis alle slike hel talls par som gir produkt 30.

$$1,30 2,15 3,10 5,6$$

Beregn summen for hvert par.

$$1+30=31 2+15=17 3+10=13 5+6=11$$

Løsningen er paret som gir Summer 17.

$$a=2 b=15$$

Skriv om 3x^{2}+17x+10 som \left(3x^{2}+2x\right)+\left(15x+10\right).

$$\left(3x^{2}+2x\right)+\left(15x+10\right)$$

Faktor ut x i den første og 5 i den andre gruppen.

$$x\left(3x+2\right)+5\left(3x+2\right)$$

Faktorer ut det felles leddet 3x+2 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(3x+2\right)\left(x+5\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse 3x+2=0 og x+5=0.

$$x=-\frac{2}{3} x=-5$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$3x^{2}+17x+10=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 3 for a, 17 for b og 10 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-17±\sqrt{17^{2}-4\times 3\times 10}}{2\times 3}$$

Kvadrer 17.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-4\times 3\times 10}}{2\times 3}$$

Multipliser -4 ganger 3.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-12\times 10}}{2\times 3}$$

Multipliser -12 ganger 10.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-120}}{2\times 3}$$

Legg sammen 289 og -120.

$$x=\frac{-17±\sqrt{169}}{2\times 3}$$

Ta kvadratroten av 169.

$$x=\frac{-17±13}{2\times 3}$$

Multipliser 2 ganger 3.

$$x=\frac{-17±13}{6}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-17±13}{6} når ± er pluss. Legg sammen -17 og 13.

$$x=-\frac{4}{6}$$

Forkort brøken \frac{-4}{6} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 2.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-17±13}{6} når ± er minus. Trekk fra 13 fra -17.

$$x=-\frac{30}{6}$$

Del -30 på 6.

$$x=-5$$

Ligningen er nå løst.

$$x=-\frac{2}{3} x=-5$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+17x+10=0$$

Trekk fra 10 fra begge sider av ligningen.

$$3x^{2}+17x+10-10=-10$$

Når du trekker fra 10 fra seg selv har du 0 igjen.

$$3x^{2}+17x=-10$$

Del begge sidene på 3.

$$\frac{3x^{2}+17x}{3}=-\frac{10}{3}$$

Hvis du deler på 3, gjør du om gangingen med 3.

$$x^{2}+\frac{17}{3}x=-\frac{10}{3}$$

Divider \frac{17}{3}, koeffisienten til leddet x, med 2 for å få \frac{17}{6}. Legg deretter til kvadratet av \frac{17}{6} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+\frac{17}{3}x+\left(\frac{17}{6}\right)^{2}=-\frac{10}{3}+\left(\frac{17}{6}\right)^{2}$$

Kvadrer \frac{17}{6} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{17}{3}x+\frac{289}{36}=-\frac{10}{3}+\frac{289}{36}$$

Legg sammen -\frac{10}{3} og \frac{289}{36} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}+\frac{17}{3}x+\frac{289}{36}=\frac{169}{36}$$

Faktoriser x^{2}+\frac{17}{3}x+\frac{289}{36}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{17}{6}\right)^{2}=\frac{169}{36}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{17}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{36}}$$

Forenkle.

$$x+\frac{17}{6}=\frac{13}{6} x+\frac{17}{6}=-\frac{13}{6}$$

Trekk fra \frac{17}{6} fra begge sider av ligningen.

$$x=-\frac{2}{3} x=-5$$