Løs 3x^2+14x-69

$$3 { x }^{ 2 } +14x-69$$

Faktoriser

$$\left(x-3\right)\left(3x+23\right)$$

Løsningstrinn

Faktor iser uttrykket ved å gruppere. Først må uttrykket omskrives som 3x^{2}+ax+bx-69. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=14 ab=3\left(-69\right)=-207$$

Siden ab er negativ, a og b har motsatt tegn. Siden a+b er positiv, har det positive tallet større absolutt verdi enn det negative. Vis alle slike hel talls par som gir produkt -207.

$$-1,207 -3,69 -9,23$$

Beregn summen for hvert par.

$$-1+207=206 -3+69=66 -9+23=14$$

Løsningen er paret som gir Summer 14.

$$a=-9 b=23$$

Skriv om 3x^{2}+14x-69 som \left(3x^{2}-9x\right)+\left(23x-69\right).

$$\left(3x^{2}-9x\right)+\left(23x-69\right)$$

Faktor ut 3x i den første og 23 i den andre gruppen.

$$3x\left(x-3\right)+23\left(x-3\right)$$

Faktorer ut det felles leddet x-3 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(x-3\right)\left(3x+23\right)$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Kvadratisk ligning for polynom kan faktoriseres ved hjelp av transformasjonen ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), der x_{1} og x_{2} er løsningene for den kvadratiske ligningen ax^{2}+bx+c=0.

$$3x^{2}+14x-69=0$$

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$x=\frac{-14±\sqrt{14^{2}-4\times 3\left(-69\right)}}{2\times 3}$$

Kvadrer 14.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-4\times 3\left(-69\right)}}{2\times 3}$$

Multipliser -4 ganger 3.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-12\left(-69\right)}}{2\times 3}$$

Multipliser -12 ganger -69.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196+828}}{2\times 3}$$

Legg sammen 196 og 828.

$$x=\frac{-14±\sqrt{1024}}{2\times 3}$$

Ta kvadratroten av 1024.

$$x=\frac{-14±32}{2\times 3}$$

Multipliser 2 ganger 3.

$$x=\frac{-14±32}{6}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-14±32}{6} når ± er pluss. Legg sammen -14 og 32.

$$x=\frac{18}{6}$$

Del 18 på 6.

$$x=3$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-14±32}{6} når ± er minus. Trekk fra 32 fra -14.

$$x=-\frac{46}{6}$$

Forkort brøken \frac{-46}{6} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 2.

$$x=-\frac{23}{3}$$

Faktoriser det opprinnelige uttrykket ved hjelp av ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Erstatt 3 med x_{1} og -\frac{23}{3} med x_{2}.

$$3x^{2}+14x-69=3\left(x-3\right)\left(x-\left(-\frac{23}{3}\right)\right)$$

Forenkle alle uttrykkene i formelen fra p-\left(-q\right)til p+q.

$$3x^{2}+14x-69=3\left(x-3\right)\left(x+\frac{23}{3}\right)$$

Legg sammen \frac{23}{3} og x ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$3x^{2}+14x-69=3\left(x-3\right)\times \frac{3x+23}{3}$$

Opphev den største felles faktoren 3 i 3 og 3.

$$3x^{2}+14x-69=\left(x-3\right)\left(3x+23\right)$$

Evaluer

$$\left(x-3\right)\left(3x+23\right)$$