Løs 3x^2+11x=-24

$$3 { x }^{ 2 } +11x = -24$$

Løs for x (complex solution)

$$x=\frac{-11+\sqrt{167}i}{6}\approx -1,833333333+2,153807997i$$

$$x=\frac{-\sqrt{167}i-11}{6}\approx -1,833333333-2,153807997i$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$3x^{2}+11x=-24$$

Legg til 24 på begge sider av ligningen.

$$3x^{2}+11x-\left(-24\right)=-24-\left(-24\right)$$

Når du trekker fra -24 fra seg selv har du 0 igjen.

$$3x^{2}+11x-\left(-24\right)=0$$

Trekk fra -24 fra 0.

$$3x^{2}+11x+24=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 3 for a, 11 for b og 24 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 3\times 24}}{2\times 3}$$

Kvadrer 11.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 3\times 24}}{2\times 3}$$

Multipliser -4 ganger 3.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-12\times 24}}{2\times 3}$$

Multipliser -12 ganger 24.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-288}}{2\times 3}$$

Legg sammen 121 og -288.

$$x=\frac{-11±\sqrt{-167}}{2\times 3}$$

Ta kvadratroten av -167.

$$x=\frac{-11±\sqrt{167}i}{2\times 3}$$

Multipliser 2 ganger 3.

$$x=\frac{-11±\sqrt{167}i}{6}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-11±\sqrt{167}i}{6} når ± er pluss. Legg sammen -11 og i\sqrt{167}.

$$x=\frac{-11+\sqrt{167}i}{6}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-11±\sqrt{167}i}{6} når ± er minus. Trekk fra i\sqrt{167} fra -11.

$$x=\frac{-\sqrt{167}i-11}{6}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{-11+\sqrt{167}i}{6} x=\frac{-\sqrt{167}i-11}{6}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+11x=-24$$

Del begge sidene på 3.

$$\frac{3x^{2}+11x}{3}=-\frac{24}{3}$$

Hvis du deler på 3, gjør du om gangingen med 3.

$$x^{2}+\frac{11}{3}x=-\frac{24}{3}$$

Del -24 på 3.

$$x^{2}+\frac{11}{3}x=-8$$

Del \frac{11}{3}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få \frac{11}{6}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av \frac{11}{6} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}+\frac{11}{3}x+\left(\frac{11}{6}\right)^{2}=-8+\left(\frac{11}{6}\right)^{2}$$

Kvadrer \frac{11}{6} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{11}{3}x+\frac{121}{36}=-8+\frac{121}{36}$$

Legg sammen -8 og \frac{121}{36}.

$$x^{2}+\frac{11}{3}x+\frac{121}{36}=-\frac{167}{36}$$

Faktoriser x^{2}+\frac{11}{3}x+\frac{121}{36}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{11}{6}\right)^{2}=-\frac{167}{36}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{6}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{167}{36}}$$

Forenkle.

$$x+\frac{11}{6}=\frac{\sqrt{167}i}{6} x+\frac{11}{6}=-\frac{\sqrt{167}i}{6}$$

Trekk fra \frac{11}{6} fra begge sider av ligningen.

$$x=\frac{-11+\sqrt{167}i}{6} x=\frac{-\sqrt{167}i-11}{6}$$