Løs 3+12x-4x^2=0

$$3 + 12 x - 4 x ^ { 2 } = 0$$

Løs for x

$$x=\sqrt{3}+\frac{3}{2}\approx 3,232050808$$

$$x=\frac{3}{2}-\sqrt{3}\approx -0,232050808$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$-4x^{2}+12x+3=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn -4 for a, 12 for b og 3 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\left(-4\right)\times 3}}{2\left(-4\right)}$$

Kvadrer 12.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-4\left(-4\right)\times 3}}{2\left(-4\right)}$$

Multipliser -4 ganger -4.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144+16\times 3}}{2\left(-4\right)}$$

Multipliser 16 ganger 3.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144+48}}{2\left(-4\right)}$$

Legg sammen 144 og 48.

$$x=\frac{-12±\sqrt{192}}{2\left(-4\right)}$$

Ta kvadratroten av 192.

$$x=\frac{-12±8\sqrt{3}}{2\left(-4\right)}$$

Multipliser 2 ganger -4.

$$x=\frac{-12±8\sqrt{3}}{-8}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-12±8\sqrt{3}}{-8} når ± er pluss. Legg sammen -12 og 8\sqrt{3}.

$$x=\frac{8\sqrt{3}-12}{-8}$$

Del -12+8\sqrt{3} på -8.

$$x=\frac{3}{2}-\sqrt{3}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-12±8\sqrt{3}}{-8} når ± er minus. Trekk fra 8\sqrt{3} fra -12.

$$x=\frac{-8\sqrt{3}-12}{-8}$$

Del -12-8\sqrt{3} på -8.

$$x=\sqrt{3}+\frac{3}{2}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{3}{2}-\sqrt{3} x=\sqrt{3}+\frac{3}{2}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$-4x^{2}+12x+3=0$$

Trekk fra 3 fra begge sider av ligningen.

$$-4x^{2}+12x+3-3=-3$$

Når du trekker fra 3 fra seg selv har du 0 igjen.

$$-4x^{2}+12x=-3$$

Del begge sidene på -4.

$$\frac{-4x^{2}+12x}{-4}=-\frac{3}{-4}$$

Hvis du deler på -4, gjør du om gangingen med -4.

$$x^{2}+\frac{12}{-4}x=-\frac{3}{-4}$$

Del 12 på -4.

$$x^{2}-3x=-\frac{3}{-4}$$

Del -3 på -4.

$$x^{2}-3x=\frac{3}{4}$$

Del -3, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -\frac{3}{2}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -\frac{3}{2} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{3}{4}+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{3}{2} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{3+9}{4}$$

Legg sammen \frac{3}{4} og \frac{9}{4} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=3$$

Faktoriser x^{2}-3x+\frac{9}{4}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=3$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{3}$$

Forenkle.

$$x-\frac{3}{2}=\sqrt{3} x-\frac{3}{2}=-\sqrt{3}$$

Legg til \frac{3}{2} på begge sider av ligningen.

$$x=\sqrt{3}+\frac{3}{2} x=\frac{3}{2}-\sqrt{3}$$