Løs 2x(91+2-2x)=1080

$$2x(91+2-2x)=1080$$

Løs for x

$$x = \frac{3 \sqrt{481} + 93}{4} \approx 39,69878415$$

$$x = \frac{93 - 3 \sqrt{481}}{4} \approx 6,80121585$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Legg sammen 91 og 2 for å få 93.

$$2x\left(93-2x\right)=1080$$

Bruk den distributive lov til å multiplisere 2x med 93-2x.

$$186x-4x^{2}=1080$$

Trekk fra 1080 fra begge sider.

$$186x-4x^{2}-1080=0$$

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$-4x^{2}+186x-1080=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn -4 for a, 186 for b og -1080 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-186±\sqrt{186^{2}-4\left(-4\right)\left(-1080\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Kvadrer 186.

$$x=\frac{-186±\sqrt{34596-4\left(-4\right)\left(-1080\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Multipliser -4 ganger -4.

$$x=\frac{-186±\sqrt{34596+16\left(-1080\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Multipliser 16 ganger -1080.

$$x=\frac{-186±\sqrt{34596-17280}}{2\left(-4\right)}$$

Legg sammen 34596 og -17280.

$$x=\frac{-186±\sqrt{17316}}{2\left(-4\right)}$$

Ta kvadratroten av 17316.

$$x=\frac{-186±6\sqrt{481}}{2\left(-4\right)}$$

Multipliser 2 ganger -4.

$$x=\frac{-186±6\sqrt{481}}{-8}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-186±6\sqrt{481}}{-8} når ± er pluss. Legg sammen -186 og 6\sqrt{481}.

$$x=\frac{6\sqrt{481}-186}{-8}$$

Del -186+6\sqrt{481} på -8.

$$x=\frac{93-3\sqrt{481}}{4}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-186±6\sqrt{481}}{-8} når ± er minus. Trekk fra 6\sqrt{481} fra -186.

$$x=\frac{-6\sqrt{481}-186}{-8}$$

Del -186-6\sqrt{481} på -8.

$$x=\frac{3\sqrt{481}+93}{4}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{93-3\sqrt{481}}{4} x=\frac{3\sqrt{481}+93}{4}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Legg sammen 91 og 2 for å få 93.

$$2x\left(93-2x\right)=1080$$

Bruk den distributive lov til å multiplisere 2x med 93-2x.

$$186x-4x^{2}=1080$$

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$-4x^{2}+186x=1080$$

Del begge sidene på -4.

$$\frac{-4x^{2}+186x}{-4}=\frac{1080}{-4}$$

Hvis du deler på -4, gjør du om gangingen med -4.

$$x^{2}+\frac{186}{-4}x=\frac{1080}{-4}$$

Forkort brøken \frac{186}{-4} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 2.

$$x^{2}-\frac{93}{2}x=\frac{1080}{-4}$$

Del 1080 på -4.

$$x^{2}-\frac{93}{2}x=-270$$

Del -\frac{93}{2}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -\frac{93}{4}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -\frac{93}{4} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}-\frac{93}{2}x+\left(-\frac{93}{4}\right)^{2}=-270+\left(-\frac{93}{4}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{93}{4} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{93}{2}x+\frac{8649}{16}=-270+\frac{8649}{16}$$

Legg sammen -270 og \frac{8649}{16}.

$$x^{2}-\frac{93}{2}x+\frac{8649}{16}=\frac{4329}{16}$$

Faktoriser x^{2}-\frac{93}{2}x+\frac{8649}{16}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{93}{4}\right)^{2}=\frac{4329}{16}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{93}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{4329}{16}}$$

Forenkle.

$$x-\frac{93}{4}=\frac{3\sqrt{481}}{4} x-\frac{93}{4}=-\frac{3\sqrt{481}}{4}$$

Legg til \frac{93}{4} på begge sider av ligningen.

$$x=\frac{3\sqrt{481}+93}{4} x=\frac{93-3\sqrt{481}}{4}$$