Løs 2x+1=4x^2+4x+5

$$2x+1=4 { x }^{ 2 } +4x+5$$

Løs for x (complex solution)

$$x=\frac{-1+\sqrt{15}i}{4}\approx -0,25+0,968245837i$$

$$x=\frac{-\sqrt{15}i-1}{4}\approx -0,25-0,968245837i$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Trekk fra 4x^{2} fra begge sider.

$$2x+1-4x^{2}=4x+5$$

Trekk fra 4x fra begge sider.

$$2x+1-4x^{2}-4x=5$$

Kombiner 2x og -4x for å få -2x.

$$-2x+1-4x^{2}=5$$

Trekk fra 5 fra begge sider.

$$-2x+1-4x^{2}-5=0$$

Trekk fra 5 fra 1 for å få -4.

$$-2x-4-4x^{2}=0$$

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$-4x^{2}-2x-4=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn -4 for a, -2 for b og -4 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\left(-4\right)\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Kvadrer -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\left(-4\right)\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Multipliser -4 ganger -4.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+16\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Multipliser 16 ganger -4.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-64}}{2\left(-4\right)}$$

Legg sammen 4 og -64.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{-60}}{2\left(-4\right)}$$

Ta kvadratroten av -60.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{15}i}{2\left(-4\right)}$$

Det motsatte av -2 er 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{15}i}{2\left(-4\right)}$$

Multipliser 2 ganger -4.

$$x=\frac{2±2\sqrt{15}i}{-8}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{2±2\sqrt{15}i}{-8} når ± er pluss. Legg sammen 2 og 2i\sqrt{15}.

$$x=\frac{2+2\sqrt{15}i}{-8}$$

Del 2+2i\sqrt{15} på -8.

$$x=\frac{-\sqrt{15}i-1}{4}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{2±2\sqrt{15}i}{-8} når ± er minus. Trekk fra 2i\sqrt{15} fra 2.

$$x=\frac{-2\sqrt{15}i+2}{-8}$$

Del 2-2i\sqrt{15} på -8.

$$x=\frac{-1+\sqrt{15}i}{4}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{-\sqrt{15}i-1}{4} x=\frac{-1+\sqrt{15}i}{4}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Trekk fra 4x^{2} fra begge sider.

$$2x+1-4x^{2}=4x+5$$

Trekk fra 4x fra begge sider.

$$2x+1-4x^{2}-4x=5$$

Kombiner 2x og -4x for å få -2x.

$$-2x+1-4x^{2}=5$$

Trekk fra 1 fra begge sider.

$$-2x-4x^{2}=5-1$$

Trekk fra 1 fra 5 for å få 4.

$$-2x-4x^{2}=4$$

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$-4x^{2}-2x=4$$

Del begge sidene på -4.

$$\frac{-4x^{2}-2x}{-4}=\frac{4}{-4}$$

Hvis du deler på -4, gjør du om gangingen med -4.

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{-4}\right)x=\frac{4}{-4}$$

Forkort brøken \frac{-2}{-4} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 2.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=\frac{4}{-4}$$

Del 4 på -4.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=-1$$

Del \frac{1}{2}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få \frac{1}{4}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av \frac{1}{4} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=-1+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Kvadrer \frac{1}{4} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=-1+\frac{1}{16}$$

Legg sammen -1 og \frac{1}{16}.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=-\frac{15}{16}$$

Faktoriser x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}=-\frac{15}{16}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{15}{16}}$$

Forenkle.

$$x+\frac{1}{4}=\frac{\sqrt{15}i}{4} x+\frac{1}{4}=-\frac{\sqrt{15}i}{4}$$

Trekk fra \frac{1}{4} fra begge sider av ligningen.

$$x=\frac{-1+\sqrt{15}i}{4} x=\frac{-\sqrt{15}i-1}{4}$$