Løs 27x^2+33x-120=0

$$27 { x }^{ 2 } +33x-120=0$$

Løs for x

$$x = \frac{\sqrt{1561} - 11}{18} \approx 1,583860696$$

$$x=\frac{-\sqrt{1561}-11}{18}\approx -2,806082918$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$27x^{2}+33x-120=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 27 for a, 33 for b og -120 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-33±\sqrt{33^{2}-4\times 27\left(-120\right)}}{2\times 27}$$

Kvadrer 33.

$$x=\frac{-33±\sqrt{1089-4\times 27\left(-120\right)}}{2\times 27}$$

Multipliser -4 ganger 27.

$$x=\frac{-33±\sqrt{1089-108\left(-120\right)}}{2\times 27}$$

Multipliser -108 ganger -120.

$$x=\frac{-33±\sqrt{1089+12960}}{2\times 27}$$

Legg sammen 1089 og 12960.

$$x=\frac{-33±\sqrt{14049}}{2\times 27}$$

Ta kvadratroten av 14049.

$$x=\frac{-33±3\sqrt{1561}}{2\times 27}$$

Multipliser 2 ganger 27.

$$x=\frac{-33±3\sqrt{1561}}{54}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-33±3\sqrt{1561}}{54} når ± er pluss. Legg sammen -33 og 3\sqrt{1561}.

$$x=\frac{3\sqrt{1561}-33}{54}$$

Del -33+3\sqrt{1561} på 54.

$$x=\frac{\sqrt{1561}-11}{18}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-33±3\sqrt{1561}}{54} når ± er minus. Trekk fra 3\sqrt{1561} fra -33.

$$x=\frac{-3\sqrt{1561}-33}{54}$$

Del -33-3\sqrt{1561} på 54.

$$x=\frac{-\sqrt{1561}-11}{18}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{\sqrt{1561}-11}{18} x=\frac{-\sqrt{1561}-11}{18}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$27x^{2}+33x-120=0$$

Legg til 120 på begge sider av ligningen.

$$27x^{2}+33x-120-\left(-120\right)=-\left(-120\right)$$

Når du trekker fra -120 fra seg selv har du 0 igjen.

$$27x^{2}+33x=-\left(-120\right)$$

Trekk fra -120 fra 0.

$$27x^{2}+33x=120$$

Del begge sidene på 27.

$$\frac{27x^{2}+33x}{27}=\frac{120}{27}$$

Hvis du deler på 27, gjør du om gangingen med 27.

$$x^{2}+\frac{33}{27}x=\frac{120}{27}$$

Forkort brøken \frac{33}{27} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 3.

$$x^{2}+\frac{11}{9}x=\frac{120}{27}$$

Forkort brøken \frac{120}{27} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 3.

$$x^{2}+\frac{11}{9}x=\frac{40}{9}$$

Del \frac{11}{9}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få \frac{11}{18}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av \frac{11}{18} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}+\frac{11}{9}x+\left(\frac{11}{18}\right)^{2}=\frac{40}{9}+\left(\frac{11}{18}\right)^{2}$$

Kvadrer \frac{11}{18} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{11}{9}x+\frac{121}{324}=\frac{40}{9}+\frac{121}{324}$$

Legg sammen \frac{40}{9} og \frac{121}{324} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}+\frac{11}{9}x+\frac{121}{324}=\frac{1561}{324}$$

Faktoriser x^{2}+\frac{11}{9}x+\frac{121}{324}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{11}{18}\right)^{2}=\frac{1561}{324}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{18}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1561}{324}}$$

Forenkle.

$$x+\frac{11}{18}=\frac{\sqrt{1561}}{18} x+\frac{11}{18}=-\frac{\sqrt{1561}}{18}$$

Trekk fra \frac{11}{18} fra begge sider av ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{1561}-11}{18} x=\frac{-\sqrt{1561}-11}{18}$$