Løs 25y^2-60y+36

$$25 y ^ { 2 } - 60 y + 36$$

Faktoriser

$$\left(5y-6\right)^{2}$$

Løsningstrinn

Faktor iser uttrykket ved å gruppere. Først må uttrykket omskrives som 25y^{2}+ay+by+36. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=-60 ab=25\times 36=900$$

Siden ab er positiv, a og b har samme fortegn. Siden a+b er negativ, er både a og b negative. Vis alle slike hel talls par som gir produkt 900.

$$-1,-900 -2,-450 -3,-300 -4,-225 -5,-180 -6,-150 -9,-100 -10,-90 -12,-75 -15,-60 -18,-50 -20,-45 -25,-36 -30,-30$$

Beregn summen for hvert par.

$$-1-900=-901 -2-450=-452 -3-300=-303 -4-225=-229 -5-180=-185 -6-150=-156 -9-100=-109 -10-90=-100 -12-75=-87 -15-60=-75 -18-50=-68 -20-45=-65 -25-36=-61 -30-30=-60$$

Løsningen er paret som gir Summer -60.

$$a=-30 b=-30$$

Skriv om 25y^{2}-60y+36 som \left(25y^{2}-30y\right)+\left(-30y+36\right).

$$\left(25y^{2}-30y\right)+\left(-30y+36\right)$$

Faktor ut 5y i den første og -6 i den andre gruppen.

$$5y\left(5y-6\right)-6\left(5y-6\right)$$

Faktorer ut det felles leddet 5y-6 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(5y-6\right)\left(5y-6\right)$$

Skriv på nytt som et binomialt kvadrat.

$$\left(5y-6\right)^{2}$$

Fremgangsmåten ved bruk av kvadratet av et binom

Dette trinomet er et trinom i andre potens, kanskje multiplisert med en fellesfaktor. Trinom i andre potens kan faktoriseres ved å finne kvadratroten av ledende og etterfølgende ledd.

$$factor(25y^{2}-60y+36)$$

Finn den største felles faktoren for koeffisientene.

$$gcf(25,-60,36)=1$$

Finn kvadratroten av det ledende leddet, 25y^{2}.

$$\sqrt{25y^{2}}=5y$$

Finn kvadratroten av det etterfølgende leddet, 36.

$$\sqrt{36}=6$$

Trinomisk kvadrat er kvadratet av binomet som er summen av eller forskjellen mellom kvadratroten til ledende og etterfølgende ledd, med tegn som bestemmes av tegnet for midtleddet i trinomkvadratet.

$$\left(5y-6\right)^{2}$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Kvadratisk ligning for polynom kan faktoriseres ved hjelp av transformasjonen ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), der x_{1} og x_{2} er løsningene for den kvadratiske ligningen ax^{2}+bx+c=0.

$$25y^{2}-60y+36=0$$

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$y=\frac{-\left(-60\right)±\sqrt{\left(-60\right)^{2}-4\times 25\times 36}}{2\times 25}$$

Kvadrer -60.

$$y=\frac{-\left(-60\right)±\sqrt{3600-4\times 25\times 36}}{2\times 25}$$

Multipliser -4 ganger 25.

$$y=\frac{-\left(-60\right)±\sqrt{3600-100\times 36}}{2\times 25}$$

Multipliser -100 ganger 36.

$$y=\frac{-\left(-60\right)±\sqrt{3600-3600}}{2\times 25}$$

Legg sammen 3600 og -3600.

$$y=\frac{-\left(-60\right)±\sqrt{0}}{2\times 25}$$

Ta kvadratroten av 0.

$$y=\frac{-\left(-60\right)±0}{2\times 25}$$

Det motsatte av -60 er 60.

$$y=\frac{60±0}{2\times 25}$$

Multipliser 2 ganger 25.

$$y=\frac{60±0}{50}$$

Faktoriser det opprinnelige uttrykket ved hjelp av ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Erstatt \frac{6}{5} med x_{1} og \frac{6}{5} med x_{2}.

$$25y^{2}-60y+36=25\left(y-\frac{6}{5}\right)\left(y-\frac{6}{5}\right)$$

Trekk fra \frac{6}{5} fra y ved å finne en fellesnevner og trekke fra tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$25y^{2}-60y+36=25\times \frac{5y-6}{5}\left(y-\frac{6}{5}\right)$$

Trekk fra \frac{6}{5} fra y ved å finne en fellesnevner og trekke fra tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$25y^{2}-60y+36=25\times \frac{5y-6}{5}\times \frac{5y-6}{5}$$

Multipliser \frac{5y-6}{5} med \frac{5y-6}{5} ved å multiplisere teller ganger teller og nevner ganger nevner. Forkort deretter brøken om mulig.

$$25y^{2}-60y+36=25\times \frac{\left(5y-6\right)\left(5y-6\right)}{5\times 5}$$

Multipliser 5 ganger 5.

$$25y^{2}-60y+36=25\times \frac{\left(5y-6\right)\left(5y-6\right)}{25}$$

Opphev den største felles faktoren 25 i 25 og 25.

$$25y^{2}-60y+36=\left(5y-6\right)\left(5y-6\right)$$

Evaluer

$$\left(5y-6\right)^{2}$$