Løs 25y^2-54y-63=0

$$25 y ^ { 2 } - 54 y - 63 = 0$$

Løs for y

$$y=-\frac{21}{25}=-0,84$$

$$y=3$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som 25y^{2}+ay+by-63. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=-54 ab=25\left(-63\right)=-1575$$

Siden ab er negativ, a og b har motsatt tegn. Siden a+b er negativ, har negative tallet større absolutt verdi enn positiv. Vis alle slike hel talls par som gir produkt -1575.

$$1,-1575 3,-525 5,-315 7,-225 9,-175 15,-105 21,-75 25,-63 35,-45$$

Beregn summen for hvert par.

$$1-1575=-1574 3-525=-522 5-315=-310 7-225=-218 9-175=-166 15-105=-90 21-75=-54 25-63=-38 35-45=-10$$

Løsningen er paret som gir Summer -54.

$$a=-75 b=21$$

Skriv om 25y^{2}-54y-63 som \left(25y^{2}-75y\right)+\left(21y-63\right).

$$\left(25y^{2}-75y\right)+\left(21y-63\right)$$

Faktor ut 25y i den første og 21 i den andre gruppen.

$$25y\left(y-3\right)+21\left(y-3\right)$$

Faktorer ut det felles leddet y-3 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(y-3\right)\left(25y+21\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse y-3=0 og 25y+21=0.

$$y=3 y=-\frac{21}{25}$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$25y^{2}-54y-63=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 25 for a, -54 for b og -63 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{\left(-54\right)^{2}-4\times 25\left(-63\right)}}{2\times 25}$$

Kvadrer -54.

$$y=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{2916-4\times 25\left(-63\right)}}{2\times 25}$$

Multipliser -4 ganger 25.

$$y=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{2916-100\left(-63\right)}}{2\times 25}$$

Multipliser -100 ganger -63.

$$y=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{2916+6300}}{2\times 25}$$

Legg sammen 2916 og 6300.

$$y=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{9216}}{2\times 25}$$

Ta kvadratroten av 9216.

$$y=\frac{-\left(-54\right)±96}{2\times 25}$$

Det motsatte av -54 er 54.

$$y=\frac{54±96}{2\times 25}$$

Multipliser 2 ganger 25.

$$y=\frac{54±96}{50}$$

Nå kan du løse formelen y=\frac{54±96}{50} når ± er pluss. Legg sammen 54 og 96.

$$y=\frac{150}{50}$$

Del 150 på 50.

$$y=3$$

Nå kan du løse formelen y=\frac{54±96}{50} når ± er minus. Trekk fra 96 fra 54.

$$y=-\frac{42}{50}$$

Forkort brøken \frac{-42}{50} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 2.

$$y=-\frac{21}{25}$$

Ligningen er nå løst.

$$y=3 y=-\frac{21}{25}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$25y^{2}-54y-63=0$$

Legg til 63 på begge sider av ligningen.

$$25y^{2}-54y-63-\left(-63\right)=-\left(-63\right)$$

Når du trekker fra -63 fra seg selv har du 0 igjen.

$$25y^{2}-54y=-\left(-63\right)$$

Trekk fra -63 fra 0.

$$25y^{2}-54y=63$$

Del begge sidene på 25.

$$\frac{25y^{2}-54y}{25}=\frac{63}{25}$$

Hvis du deler på 25, gjør du om gangingen med 25.

$$y^{2}-\frac{54}{25}y=\frac{63}{25}$$

Del -\frac{54}{25}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -\frac{27}{25}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -\frac{27}{25} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$y^{2}-\frac{54}{25}y+\left(-\frac{27}{25}\right)^{2}=\frac{63}{25}+\left(-\frac{27}{25}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{27}{25} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$y^{2}-\frac{54}{25}y+\frac{729}{625}=\frac{63}{25}+\frac{729}{625}$$

Legg sammen \frac{63}{25} og \frac{729}{625} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$y^{2}-\frac{54}{25}y+\frac{729}{625}=\frac{2304}{625}$$

Faktoriser y^{2}-\frac{54}{25}y+\frac{729}{625}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{27}{25}\right)^{2}=\frac{2304}{625}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(y-\frac{27}{25}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2304}{625}}$$

Forenkle.

$$y-\frac{27}{25}=\frac{48}{25} y-\frac{27}{25}=-\frac{48}{25}$$

Legg til \frac{27}{25} på begge sider av ligningen.

$$y=3 y=-\frac{21}{25}$$