Løs 25x^2-90x+82=0

$$25 x ^ { 2 } - 90 x + 82 = 0$$

Løs for x (complex solution)

$$x=\frac{9}{5}+\frac{1}{5}i=1,8+0,2i$$

$$x=\frac{9}{5}-\frac{1}{5}i=1,8-0,2i$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$25x^{2}-90x+82=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 25 for a, -90 for b og 82 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{\left(-90\right)^{2}-4\times 25\times 82}}{2\times 25}$$

Kvadrer -90.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-4\times 25\times 82}}{2\times 25}$$

Multipliser -4 ganger 25.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-100\times 82}}{2\times 25}$$

Multipliser -100 ganger 82.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-8200}}{2\times 25}$$

Legg sammen 8100 og -8200.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{-100}}{2\times 25}$$

Ta kvadratroten av -100.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±10i}{2\times 25}$$

Det motsatte av -90 er 90.

$$x=\frac{90±10i}{2\times 25}$$

Multipliser 2 ganger 25.

$$x=\frac{90±10i}{50}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{90±10i}{50} når ± er pluss. Legg sammen 90 og 10i.

$$x=\frac{90+10i}{50}$$

Del 90+10i på 50.

$$x=\frac{9}{5}+\frac{1}{5}i$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{90±10i}{50} når ± er minus. Trekk fra 10i fra 90.

$$x=\frac{90-10i}{50}$$

Del 90-10i på 50.

$$x=\frac{9}{5}-\frac{1}{5}i$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{9}{5}+\frac{1}{5}i x=\frac{9}{5}-\frac{1}{5}i$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$25x^{2}-90x+82=0$$

Trekk fra 82 fra begge sider av ligningen.

$$25x^{2}-90x+82-82=-82$$

Når du trekker fra 82 fra seg selv har du 0 igjen.

$$25x^{2}-90x=-82$$

Del begge sidene på 25.

$$\frac{25x^{2}-90x}{25}=-\frac{82}{25}$$

Hvis du deler på 25, gjør du om gangingen med 25.

$$x^{2}+\left(-\frac{90}{25}\right)x=-\frac{82}{25}$$

Forkort brøken \frac{-90}{25} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 5.

$$x^{2}-\frac{18}{5}x=-\frac{82}{25}$$

Del -\frac{18}{5}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -\frac{9}{5}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -\frac{9}{5} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}-\frac{18}{5}x+\left(-\frac{9}{5}\right)^{2}=-\frac{82}{25}+\left(-\frac{9}{5}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{9}{5} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{18}{5}x+\frac{81}{25}=\frac{-82+81}{25}$$

Legg sammen -\frac{82}{25} og \frac{81}{25} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}-\frac{18}{5}x+\frac{81}{25}=-\frac{1}{25}$$

Faktoriser x^{2}-\frac{18}{5}x+\frac{81}{25}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{9}{5}\right)^{2}=-\frac{1}{25}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{5}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{1}{25}}$$

Forenkle.

$$x-\frac{9}{5}=\frac{1}{5}i x-\frac{9}{5}=-\frac{1}{5}i$$

Legg til \frac{9}{5} på begge sider av ligningen.

$$x=\frac{9}{5}+\frac{1}{5}i x=\frac{9}{5}-\frac{1}{5}i$$