Løs 25x^2-40x+16=0

$$25 x ^ { 2 } - 40 x + 16 = 0$$

Løs for x

$$x=\frac{4}{5}=0,8$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

For å løse ligningen faktoriserer du venstre side ved å gruppere. Først må venstre side omskrives som 25x^{2}+ax+bx+16. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=-40 ab=25\times 16=400$$

Siden ab er positiv, a og b har samme fortegn. Siden a+b er negativ, er både a og b negative. Vis alle slike hel talls par som gir produkt 400.

$$-1,-400 -2,-200 -4,-100 -5,-80 -8,-50 -10,-40 -16,-25 -20,-20$$

Beregn summen for hvert par.

$$-1-400=-401 -2-200=-202 -4-100=-104 -5-80=-85 -8-50=-58 -10-40=-50 -16-25=-41 -20-20=-40$$

Løsningen er paret som gir Summer -40.

$$a=-20 b=-20$$

Skriv om 25x^{2}-40x+16 som \left(25x^{2}-20x\right)+\left(-20x+16\right).

$$\left(25x^{2}-20x\right)+\left(-20x+16\right)$$

Faktor ut 5x i den første og -4 i den andre gruppen.

$$5x\left(5x-4\right)-4\left(5x-4\right)$$

Faktorer ut det felles leddet 5x-4 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(5x-4\right)\left(5x-4\right)$$

Skriv på nytt som et binomialt kvadrat.

$$\left(5x-4\right)^{2}$$

Hvis du vil finne formelløsningen, kan du løse 5x-4=0.

$$x=\frac{4}{5}$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$25x^{2}-40x+16=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 25 for a, -40 for b og 16 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{\left(-40\right)^{2}-4\times 25\times 16}}{2\times 25}$$

Kvadrer -40.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-4\times 25\times 16}}{2\times 25}$$

Multipliser -4 ganger 25.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-100\times 16}}{2\times 25}$$

Multipliser -100 ganger 16.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-1600}}{2\times 25}$$

Legg sammen 1600 og -1600.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{0}}{2\times 25}$$

Ta kvadratroten av 0.

$$x=-\frac{-40}{2\times 25}$$

Det motsatte av -40 er 40.

$$x=\frac{40}{2\times 25}$$

Multipliser 2 ganger 25.

$$x=\frac{40}{50}$$

Forkort brøken \frac{40}{50} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 10.

$$x=\frac{4}{5}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$25x^{2}-40x+16=0$$

Trekk fra 16 fra begge sider av ligningen.

$$25x^{2}-40x+16-16=-16$$

Når du trekker fra 16 fra seg selv har du 0 igjen.

$$25x^{2}-40x=-16$$

Del begge sidene på 25.

$$\frac{25x^{2}-40x}{25}=-\frac{16}{25}$$

Hvis du deler på 25, gjør du om gangingen med 25.

$$x^{2}+\left(-\frac{40}{25}\right)x=-\frac{16}{25}$$

Forkort brøken \frac{-40}{25} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 5.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x=-\frac{16}{25}$$

Divider -\frac{8}{5}, koeffisienten til leddet x, med 2 for å få -\frac{4}{5}. Legg deretter til kvadratet av -\frac{4}{5} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x+\left(-\frac{4}{5}\right)^{2}=-\frac{16}{25}+\left(-\frac{4}{5}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{4}{5} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}=\frac{-16+16}{25}$$

Legg sammen -\frac{16}{25} og \frac{16}{25} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}=0$$

Faktoriser x^{2}-\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{4}{5}\right)^{2}=0$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{4}{5}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Forenkle.

$$x-\frac{4}{5}=0 x-\frac{4}{5}=0$$

Legg til \frac{4}{5} på begge sider av ligningen.

$$x=\frac{4}{5} x=\frac{4}{5}$$

Ligningen er nå løst. Løsninger er de samme.

$$x=\frac{4}{5}$$