Løs 25x^2-10x-x^2-25=0

$$25 x ^ { 2 } - 10 x - x ^ { 2 } - 25 = 0$$

Løs for x

$$x=-\frac{5}{6}\approx -0,833333333$$

$$x = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4} = 1,25$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

Kombiner 25x^{2} og -x^{2} for å få 24x^{2}.

$$24x^{2}-10x-25=0$$

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som 24x^{2}+ax+bx-25. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=-10 ab=24\left(-25\right)=-600$$

Siden ab er negativ, a og b har motsatt tegn. Siden a+b er negativ, har negative tallet større absolutt verdi enn positiv. Vis alle slike hel talls par som gir produkt -600.

$$1,-600 2,-300 3,-200 4,-150 5,-120 6,-100 8,-75 10,-60 12,-50 15,-40 20,-30 24,-25$$

Beregn summen for hvert par.

$$1-600=-599 2-300=-298 3-200=-197 4-150=-146 5-120=-115 6-100=-94 8-75=-67 10-60=-50 12-50=-38 15-40=-25 20-30=-10 24-25=-1$$

Løsningen er paret som gir Summer -10.

$$a=-30 b=20$$

Skriv om 24x^{2}-10x-25 som \left(24x^{2}-30x\right)+\left(20x-25\right).

$$\left(24x^{2}-30x\right)+\left(20x-25\right)$$

Faktor ut 6x i den første og 5 i den andre gruppen.

$$6x\left(4x-5\right)+5\left(4x-5\right)$$

Faktorer ut det felles leddet 4x-5 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(4x-5\right)\left(6x+5\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse 4x-5=0 og 6x+5=0.

$$x=\frac{5}{4} x=-\frac{5}{6}$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Kombiner 25x^{2} og -x^{2} for å få 24x^{2}.

$$24x^{2}-10x-25=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 24 for a, -10 for b og -25 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 24\left(-25\right)}}{2\times 24}$$

Kvadrer -10.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 24\left(-25\right)}}{2\times 24}$$

Multipliser -4 ganger 24.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-96\left(-25\right)}}{2\times 24}$$

Multipliser -96 ganger -25.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100+2400}}{2\times 24}$$

Legg sammen 100 og 2400.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{2500}}{2\times 24}$$

Ta kvadratroten av 2500.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±50}{2\times 24}$$

Det motsatte av -10 er 10.

$$x=\frac{10±50}{2\times 24}$$

Multipliser 2 ganger 24.

$$x=\frac{10±50}{48}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{10±50}{48} når ± er pluss. Legg sammen 10 og 50.

$$x=\frac{60}{48}$$

Forkort brøken \frac{60}{48} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 12.

$$x=\frac{5}{4}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{10±50}{48} når ± er minus. Trekk fra 50 fra 10.

$$x=-\frac{40}{48}$$

Forkort brøken \frac{-40}{48} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 8.

$$x=-\frac{5}{6}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{5}{4} x=-\frac{5}{6}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Kombiner 25x^{2} og -x^{2} for å få 24x^{2}.

$$24x^{2}-10x-25=0$$

Legg til 25 på begge sider. Hvilket som helst tall pluss null gir seg selv.

$$24x^{2}-10x=25$$

Del begge sidene på 24.

$$\frac{24x^{2}-10x}{24}=\frac{25}{24}$$

Hvis du deler på 24, gjør du om gangingen med 24.

$$x^{2}+\left(-\frac{10}{24}\right)x=\frac{25}{24}$$

Forkort brøken \frac{-10}{24} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 2.

$$x^{2}-\frac{5}{12}x=\frac{25}{24}$$

Del -\frac{5}{12}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -\frac{5}{24}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -\frac{5}{24} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}-\frac{5}{12}x+\left(-\frac{5}{24}\right)^{2}=\frac{25}{24}+\left(-\frac{5}{24}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{5}{24} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{5}{12}x+\frac{25}{576}=\frac{25}{24}+\frac{25}{576}$$

Legg sammen \frac{25}{24} og \frac{25}{576} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}-\frac{5}{12}x+\frac{25}{576}=\frac{625}{576}$$

Faktoriser x^{2}-\frac{5}{12}x+\frac{25}{576}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{24}\right)^{2}=\frac{625}{576}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{625}{576}}$$

Forenkle.

$$x-\frac{5}{24}=\frac{25}{24} x-\frac{5}{24}=-\frac{25}{24}$$

Legg til \frac{5}{24} på begge sider av ligningen.

$$x=\frac{5}{4} x=-\frac{5}{6}$$