Løs 25n^2-30n+9

$$25 n ^ { 2 } - 30 n + 9$$

Faktoriser

$$\left(5n-3\right)^{2}$$

Løsningstrinn

Faktor iser uttrykket ved å gruppere. Først må uttrykket omskrives som 25n^{2}+an+bn+9. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=-30 ab=25\times 9=225$$

Siden ab er positiv, a og b har samme fortegn. Siden a+b er negativ, er både a og b negative. Vis alle slike hel talls par som gir produkt 225.

$$-1,-225 -3,-75 -5,-45 -9,-25 -15,-15$$

Beregn summen for hvert par.

$$-1-225=-226 -3-75=-78 -5-45=-50 -9-25=-34 -15-15=-30$$

Løsningen er paret som gir Summer -30.

$$a=-15 b=-15$$

Skriv om 25n^{2}-30n+9 som \left(25n^{2}-15n\right)+\left(-15n+9\right).

$$\left(25n^{2}-15n\right)+\left(-15n+9\right)$$

Faktor ut 5n i den første og -3 i den andre gruppen.

$$5n\left(5n-3\right)-3\left(5n-3\right)$$

Faktorer ut det felles leddet 5n-3 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(5n-3\right)\left(5n-3\right)$$

Skriv på nytt som et binomialt kvadrat.

$$\left(5n-3\right)^{2}$$

Fremgangsmåten ved bruk av kvadratet av et binom

Dette trinomet er et trinom i andre potens, kanskje multiplisert med en fellesfaktor. Trinom i andre potens kan faktoriseres ved å finne kvadratroten av ledende og etterfølgende ledd.

$$factor(25n^{2}-30n+9)$$

Finn den største felles faktoren for koeffisientene.

$$gcf(25,-30,9)=1$$

Finn kvadratroten av det ledende leddet, 25n^{2}.

$$\sqrt{25n^{2}}=5n$$

Finn kvadratroten av det etterfølgende leddet, 9.

$$\sqrt{9}=3$$

Trinomisk kvadrat er kvadratet av binomet som er summen av eller forskjellen mellom kvadratroten til ledende og etterfølgende ledd, med tegn som bestemmes av tegnet for midtleddet i trinomkvadratet.

$$\left(5n-3\right)^{2}$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Kvadratisk ligning for polynom kan faktoriseres ved hjelp av transformasjonen ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), der x_{1} og x_{2} er løsningene for den kvadratiske ligningen ax^{2}+bx+c=0.

$$25n^{2}-30n+9=0$$

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$n=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{\left(-30\right)^{2}-4\times 25\times 9}}{2\times 25}$$

Kvadrer -30.

$$n=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-4\times 25\times 9}}{2\times 25}$$

Multipliser -4 ganger 25.

$$n=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-100\times 9}}{2\times 25}$$

Multipliser -100 ganger 9.

$$n=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-900}}{2\times 25}$$

Legg sammen 900 og -900.

$$n=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{0}}{2\times 25}$$

Ta kvadratroten av 0.

$$n=\frac{-\left(-30\right)±0}{2\times 25}$$

Det motsatte av -30 er 30.

$$n=\frac{30±0}{2\times 25}$$

Multipliser 2 ganger 25.

$$n=\frac{30±0}{50}$$

Faktoriser det opprinnelige uttrykket ved hjelp av ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Erstatt \frac{3}{5} med x_{1} og \frac{3}{5} med x_{2}.

$$25n^{2}-30n+9=25\left(n-\frac{3}{5}\right)\left(n-\frac{3}{5}\right)$$

Trekk fra \frac{3}{5} fra n ved å finne en fellesnevner og trekke fra tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$25n^{2}-30n+9=25\times \frac{5n-3}{5}\left(n-\frac{3}{5}\right)$$

Trekk fra \frac{3}{5} fra n ved å finne en fellesnevner og trekke fra tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$25n^{2}-30n+9=25\times \frac{5n-3}{5}\times \frac{5n-3}{5}$$

Multipliser \frac{5n-3}{5} med \frac{5n-3}{5} ved å multiplisere teller ganger teller og nevner ganger nevner. Forkort deretter brøken om mulig.

$$25n^{2}-30n+9=25\times \frac{\left(5n-3\right)\left(5n-3\right)}{5\times 5}$$

Multipliser 5 ganger 5.

$$25n^{2}-30n+9=25\times \frac{\left(5n-3\right)\left(5n-3\right)}{25}$$

Opphev den største felles faktoren 25 i 25 og 25.

$$25n^{2}-30n+9=\left(5n-3\right)\left(5n-3\right)$$

Evaluer

$$\left(5n-3\right)^{2}$$