Løs 25a^2-40a+16

$$25 a ^ { 2 } - 40 a + 16$$

Faktoriser

$$\left(5a-4\right)^{2}$$

Løsningstrinn

Faktor iser uttrykket ved å gruppere. Først må uttrykket omskrives som 25a^{2}+pa+qa+16. Hvis du vil finne p og q, setter du opp et system som skal løses.

$$p+q=-40 pq=25\times 16=400$$

Siden pq er positiv, p og q har samme fortegn. Siden p+q er negativ, er både p og q negative. Vis alle slike hel talls par som gir produkt 400.

$$-1,-400 -2,-200 -4,-100 -5,-80 -8,-50 -10,-40 -16,-25 -20,-20$$

Beregn summen for hvert par.

$$-1-400=-401 -2-200=-202 -4-100=-104 -5-80=-85 -8-50=-58 -10-40=-50 -16-25=-41 -20-20=-40$$

Løsningen er paret som gir Summer -40.

$$p=-20 q=-20$$

Skriv om 25a^{2}-40a+16 som \left(25a^{2}-20a\right)+\left(-20a+16\right).

$$\left(25a^{2}-20a\right)+\left(-20a+16\right)$$

Faktor ut 5a i den første og -4 i den andre gruppen.

$$5a\left(5a-4\right)-4\left(5a-4\right)$$

Faktorer ut det felles leddet 5a-4 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(5a-4\right)\left(5a-4\right)$$

Skriv på nytt som et binomialt kvadrat.

$$\left(5a-4\right)^{2}$$

Fremgangsmåten ved bruk av kvadratet av et binom

Dette trinomet er et trinom i andre potens, kanskje multiplisert med en fellesfaktor. Trinom i andre potens kan faktoriseres ved å finne kvadratroten av ledende og etterfølgende ledd.

$$factor(25a^{2}-40a+16)$$

Finn den største felles faktoren for koeffisientene.

$$gcf(25,-40,16)=1$$

Finn kvadratroten av det ledende leddet, 25a^{2}.

$$\sqrt{25a^{2}}=5a$$

Finn kvadratroten av det etterfølgende leddet, 16.

$$\sqrt{16}=4$$

Trinomisk kvadrat er kvadratet av binomet som er summen av eller forskjellen mellom kvadratroten til ledende og etterfølgende ledd, med tegn som bestemmes av tegnet for midtleddet i trinomkvadratet.

$$\left(5a-4\right)^{2}$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Kvadratisk ligning for polynom kan faktoriseres ved hjelp av transformasjonen ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), der x_{1} og x_{2} er løsningene for den kvadratiske ligningen ax^{2}+bx+c=0.

$$25a^{2}-40a+16=0$$

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$a=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{\left(-40\right)^{2}-4\times 25\times 16}}{2\times 25}$$

Kvadrer -40.

$$a=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-4\times 25\times 16}}{2\times 25}$$

Multipliser -4 ganger 25.

$$a=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-100\times 16}}{2\times 25}$$

Multipliser -100 ganger 16.

$$a=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-1600}}{2\times 25}$$

Legg sammen 1600 og -1600.

$$a=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{0}}{2\times 25}$$

Ta kvadratroten av 0.

$$a=\frac{-\left(-40\right)±0}{2\times 25}$$

Det motsatte av -40 er 40.

$$a=\frac{40±0}{2\times 25}$$

Multipliser 2 ganger 25.

$$a=\frac{40±0}{50}$$

Faktoriser det opprinnelige uttrykket ved hjelp av ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Erstatt \frac{4}{5} med x_{1} og \frac{4}{5} med x_{2}.

$$25a^{2}-40a+16=25\left(a-\frac{4}{5}\right)\left(a-\frac{4}{5}\right)$$

Trekk fra \frac{4}{5} fra a ved å finne en fellesnevner og trekke fra tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$25a^{2}-40a+16=25\times \frac{5a-4}{5}\left(a-\frac{4}{5}\right)$$

Trekk fra \frac{4}{5} fra a ved å finne en fellesnevner og trekke fra tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$25a^{2}-40a+16=25\times \frac{5a-4}{5}\times \frac{5a-4}{5}$$

Multipliser \frac{5a-4}{5} med \frac{5a-4}{5} ved å multiplisere teller ganger teller og nevner ganger nevner. Forkort deretter brøken om mulig.

$$25a^{2}-40a+16=25\times \frac{\left(5a-4\right)\left(5a-4\right)}{5\times 5}$$

Multipliser 5 ganger 5.

$$25a^{2}-40a+16=25\times \frac{\left(5a-4\right)\left(5a-4\right)}{25}$$

Opphev den største felles faktoren 25 i 25 og 25.

$$25a^{2}-40a+16=\left(5a-4\right)\left(5a-4\right)$$

Evaluer

$$\left(5a-4\right)^{2}$$