Løs 25x^2-90x+77=0

$$25 { x }^{ 2 } -90x+77=0$$

Løs for x

$$x = \frac{7}{5} = 1\frac{2}{5} = 1,4$$

$$x = \frac{11}{5} = 2\frac{1}{5} = 2,2$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$25x^{2}-90x+77=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 25 for a, -90 for b og 77 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{\left(-90\right)^{2}-4\times 25\times 77}}{2\times 25}$$

Kvadrer -90.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-4\times 25\times 77}}{2\times 25}$$

Multipliser -4 ganger 25.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-100\times 77}}{2\times 25}$$

Multipliser -100 ganger 77.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-7700}}{2\times 25}$$

Legg sammen 8100 og -7700.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{400}}{2\times 25}$$

Ta kvadratroten av 400.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±20}{2\times 25}$$

Det motsatte av -90 er 90.

$$x=\frac{90±20}{2\times 25}$$

Multipliser 2 ganger 25.

$$x=\frac{90±20}{50}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{90±20}{50} når ± er pluss. Legg sammen 90 og 20.

$$x=\frac{110}{50}$$

Forkort brøken \frac{110}{50} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 10.

$$x=\frac{11}{5}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{90±20}{50} når ± er minus. Trekk fra 20 fra 90.

$$x=\frac{70}{50}$$

Forkort brøken \frac{70}{50} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 10.

$$x=\frac{7}{5}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{11}{5} x=\frac{7}{5}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$25x^{2}-90x+77=0$$

Trekk fra 77 fra begge sider av ligningen.

$$25x^{2}-90x+77-77=-77$$

Når du trekker fra 77 fra seg selv har du 0 igjen.

$$25x^{2}-90x=-77$$

Del begge sidene på 25.

$$\frac{25x^{2}-90x}{25}=-\frac{77}{25}$$

Hvis du deler på 25, gjør du om gangingen med 25.

$$x^{2}+\left(-\frac{90}{25}\right)x=-\frac{77}{25}$$

Forkort brøken \frac{-90}{25} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 5.

$$x^{2}-\frac{18}{5}x=-\frac{77}{25}$$

Del -\frac{18}{5}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -\frac{9}{5}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -\frac{9}{5} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}-\frac{18}{5}x+\left(-\frac{9}{5}\right)^{2}=-\frac{77}{25}+\left(-\frac{9}{5}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{9}{5} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{18}{5}x+\frac{81}{25}=\frac{-77+81}{25}$$

Legg sammen -\frac{77}{25} og \frac{81}{25} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}-\frac{18}{5}x+\frac{81}{25}=\frac{4}{25}$$

Faktoriser x^{2}-\frac{18}{5}x+\frac{81}{25}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{9}{5}\right)^{2}=\frac{4}{25}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{4}{25}}$$

Forenkle.

$$x-\frac{9}{5}=\frac{2}{5} x-\frac{9}{5}=-\frac{2}{5}$$

Legg til \frac{9}{5} på begge sider av ligningen.

$$x=\frac{11}{5} x=\frac{7}{5}$$