Løs 25x^2+30x+9=0

$$25 { x }^{ 2 } +30x+9=0$$

Løs for x

$$x=-\frac{3}{5}=-0,6$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som 25x^{2}+ax+bx+9. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=30 ab=25\times 9=225$$

Siden ab er positiv, a og b har samme fortegn. Siden a+b er positiv, er a og b positive. Vis alle slike hel talls par som gir produkt 225.

$$1,225 3,75 5,45 9,25 15,15$$

Beregn summen for hvert par.

$$1+225=226 3+75=78 5+45=50 9+25=34 15+15=30$$

Løsningen er paret som gir Summer 30.

$$a=15 b=15$$

Skriv om 25x^{2}+30x+9 som \left(25x^{2}+15x\right)+\left(15x+9\right).

$$\left(25x^{2}+15x\right)+\left(15x+9\right)$$

Faktor ut 5x i den første og 3 i den andre gruppen.

$$5x\left(5x+3\right)+3\left(5x+3\right)$$

Faktorer ut det felles leddet 5x+3 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(5x+3\right)\left(5x+3\right)$$

Skriv på nytt som et binomialt kvadrat.

$$\left(5x+3\right)^{2}$$

Hvis du vil finne formelløsningen, kan du løse 5x+3=0.

$$x=-\frac{3}{5}$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$25x^{2}+30x+9=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 25 for a, 30 for b og 9 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-30±\sqrt{30^{2}-4\times 25\times 9}}{2\times 25}$$

Kvadrer 30.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-4\times 25\times 9}}{2\times 25}$$

Multipliser -4 ganger 25.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-100\times 9}}{2\times 25}$$

Multipliser -100 ganger 9.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-900}}{2\times 25}$$

Legg sammen 900 og -900.

$$x=\frac{-30±\sqrt{0}}{2\times 25}$$

Ta kvadratroten av 0.

$$x=-\frac{30}{2\times 25}$$

Multipliser 2 ganger 25.

$$x=-\frac{30}{50}$$

Forkort brøken \frac{-30}{50} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 10.

$$x=-\frac{3}{5}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$25x^{2}+30x+9=0$$

Trekk fra 9 fra begge sider av ligningen.

$$25x^{2}+30x+9-9=-9$$

Når du trekker fra 9 fra seg selv har du 0 igjen.

$$25x^{2}+30x=-9$$

Del begge sidene på 25.

$$\frac{25x^{2}+30x}{25}=-\frac{9}{25}$$

Hvis du deler på 25, gjør du om gangingen med 25.

$$x^{2}+\frac{30}{25}x=-\frac{9}{25}$$

Forkort brøken \frac{30}{25} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 5.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x=-\frac{9}{25}$$

Del \frac{6}{5}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få \frac{3}{5}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av \frac{3}{5} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\left(\frac{3}{5}\right)^{2}=-\frac{9}{25}+\left(\frac{3}{5}\right)^{2}$$

Kvadrer \frac{3}{5} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}=\frac{-9+9}{25}$$

Legg sammen -\frac{9}{25} og \frac{9}{25} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}=0$$

Faktoriser x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{5}\right)^{2}=0$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{5}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Forenkle.

$$x+\frac{3}{5}=0 x+\frac{3}{5}=0$$

Trekk fra \frac{3}{5} fra begge sider av ligningen.

$$x=-\frac{3}{5} x=-\frac{3}{5}$$

Ligningen er nå løst. Løsninger er de samme.

$$x=-\frac{3}{5}$$