Løs 25x^2+250x-15000=0

$$25 { x }^{ 2 } +250x-15000=0$$

Løs for x

$$x=-30$$

$$x=20$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

Del begge sidene på 25.

$$x^{2}+10x-600=0$$

For å løse ligningen faktoriserer du venstre side ved å gruppere. Først må venstre side omskrives som x^{2}+ax+bx-600. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=10 ab=1\left(-600\right)=-600$$

Siden ab er negativ, a og b har motsatt tegn. Siden a+b er positiv, har det positive tallet større absolutt verdi enn det negative. Vis alle slike hel talls par som gir produkt -600.

$$-1,600 -2,300 -3,200 -4,150 -5,120 -6,100 -8,75 -10,60 -12,50 -15,40 -20,30 -24,25$$

Beregn summen for hvert par.

$$-1+600=599 -2+300=298 -3+200=197 -4+150=146 -5+120=115 -6+100=94 -8+75=67 -10+60=50 -12+50=38 -15+40=25 -20+30=10 -24+25=1$$

Løsningen er paret som gir Summer 10.

$$a=-20 b=30$$

Skriv om x^{2}+10x-600 som \left(x^{2}-20x\right)+\left(30x-600\right).

$$\left(x^{2}-20x\right)+\left(30x-600\right)$$

Faktor ut x i den første og 30 i den andre gruppen.

$$x\left(x-20\right)+30\left(x-20\right)$$

Faktorer ut det felles leddet x-20 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(x-20\right)\left(x+30\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse x-20=0 og x+30=0.

$$x=20 x=-30$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$25x^{2}+250x-15000=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 25 for a, 250 for b og -15000 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-250±\sqrt{250^{2}-4\times 25\left(-15000\right)}}{2\times 25}$$

Kvadrer 250.

$$x=\frac{-250±\sqrt{62500-4\times 25\left(-15000\right)}}{2\times 25}$$

Multipliser -4 ganger 25.

$$x=\frac{-250±\sqrt{62500-100\left(-15000\right)}}{2\times 25}$$

Multipliser -100 ganger -15000.

$$x=\frac{-250±\sqrt{62500+1500000}}{2\times 25}$$

Legg sammen 62500 og 1500000.

$$x=\frac{-250±\sqrt{1562500}}{2\times 25}$$

Ta kvadratroten av 1562500.

$$x=\frac{-250±1250}{2\times 25}$$

Multipliser 2 ganger 25.

$$x=\frac{-250±1250}{50}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-250±1250}{50} når ± er pluss. Legg sammen -250 og 1250.

$$x=\frac{1000}{50}$$

Del 1000 på 50.

$$x=20$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-250±1250}{50} når ± er minus. Trekk fra 1250 fra -250.

$$x=-\frac{1500}{50}$$

Del -1500 på 50.

$$x=-30$$

Ligningen er nå løst.

$$x=20 x=-30$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$25x^{2}+250x-15000=0$$

Legg til 15000 på begge sider av ligningen.

$$25x^{2}+250x-15000-\left(-15000\right)=-\left(-15000\right)$$

Når du trekker fra -15000 fra seg selv har du 0 igjen.

$$25x^{2}+250x=-\left(-15000\right)$$

Trekk fra -15000 fra 0.

$$25x^{2}+250x=15000$$

Del begge sidene på 25.

$$\frac{25x^{2}+250x}{25}=\frac{15000}{25}$$

Hvis du deler på 25, gjør du om gangingen med 25.

$$x^{2}+\frac{250}{25}x=\frac{15000}{25}$$

Del 250 på 25.

$$x^{2}+10x=\frac{15000}{25}$$

Del 15000 på 25.

$$x^{2}+10x=600$$

Divider 10, koeffisienten til leddet x, med 2 for å få 5. Legg deretter til kvadratet av 5 på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+10x+5^{2}=600+5^{2}$$

Kvadrer 5.

$$x^{2}+10x+25=600+25$$

Legg sammen 600 og 25.

$$x^{2}+10x+25=625$$

Faktoriser x^{2}+10x+25. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+5\right)^{2}=625$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x+5\right)^{2}}=\sqrt{625}$$

Forenkle.

$$x+5=25 x+5=-25$$

Trekk fra 5 fra begge sider av ligningen.

$$x=20 x=-30$$