Løs 24x^2+6x-3=0

$$24 x ^ { 2 } + 6 x - 3 = 0$$

Løs for x

$$x=-\frac{1}{2}=-0,5$$

$$x=\frac{1}{4}=0,25$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

Del begge sidene på 3.

$$8x^{2}+2x-1=0$$

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som 8x^{2}+ax+bx-1. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=2 ab=8\left(-1\right)=-8$$

Siden ab er negativ, a og b har motsatt tegn. Siden a+b er positiv, har det positive tallet større absolutt verdi enn det negative. Vis alle slike hel talls par som gir produkt -8.

$$-1,8 -2,4$$

Beregn summen for hvert par.

$$-1+8=7 -2+4=2$$

Løsningen er paret som gir Summer 2.

$$a=-2 b=4$$

Skriv om 8x^{2}+2x-1 som \left(8x^{2}-2x\right)+\left(4x-1\right).

$$\left(8x^{2}-2x\right)+\left(4x-1\right)$$

Faktorer ut 2x i 8x^{2}-2x.

$$2x\left(4x-1\right)+4x-1$$

Faktorer ut det felles leddet 4x-1 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(4x-1\right)\left(2x+1\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse 4x-1=0 og 2x+1=0.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{1}{2}$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$24x^{2}+6x-3=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 24 for a, 6 for b og -3 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 24\left(-3\right)}}{2\times 24}$$

Kvadrer 6.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 24\left(-3\right)}}{2\times 24}$$

Multipliser -4 ganger 24.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-96\left(-3\right)}}{2\times 24}$$

Multipliser -96 ganger -3.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36+288}}{2\times 24}$$

Legg sammen 36 og 288.

$$x=\frac{-6±\sqrt{324}}{2\times 24}$$

Ta kvadratroten av 324.

$$x=\frac{-6±18}{2\times 24}$$

Multipliser 2 ganger 24.

$$x=\frac{-6±18}{48}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-6±18}{48} når ± er pluss. Legg sammen -6 og 18.

$$x=\frac{12}{48}$$

Forkort brøken \frac{12}{48} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 12.

$$x=\frac{1}{4}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-6±18}{48} når ± er minus. Trekk fra 18 fra -6.

$$x=-\frac{24}{48}$$

Forkort brøken \frac{-24}{48} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 24.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{1}{2}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$24x^{2}+6x-3=0$$

Legg til 3 på begge sider av ligningen.

$$24x^{2}+6x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

Når du trekker fra -3 fra seg selv har du 0 igjen.

$$24x^{2}+6x=-\left(-3\right)$$

Trekk fra -3 fra 0.

$$24x^{2}+6x=3$$

Del begge sidene på 24.

$$\frac{24x^{2}+6x}{24}=\frac{3}{24}$$

Hvis du deler på 24, gjør du om gangingen med 24.

$$x^{2}+\frac{6}{24}x=\frac{3}{24}$$

Forkort brøken \frac{6}{24} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 6.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x=\frac{3}{24}$$

Forkort brøken \frac{3}{24} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 3.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x=\frac{1}{8}$$

Del \frac{1}{4}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få \frac{1}{8}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av \frac{1}{8} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x+\left(\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{1}{8}+\left(\frac{1}{8}\right)^{2}$$

Kvadrer \frac{1}{8} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=\frac{1}{8}+\frac{1}{64}$$

Legg sammen \frac{1}{8} og \frac{1}{64} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=\frac{9}{64}$$

Faktoriser x^{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{9}{64}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{64}}$$

Forenkle.

$$x+\frac{1}{8}=\frac{3}{8} x+\frac{1}{8}=-\frac{3}{8}$$

Trekk fra \frac{1}{8} fra begge sider av ligningen.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{1}{2}$$