Løs 24x^2+38x+15

$$24 x ^ { 2 } + 38 x + 15$$

Faktoriser

$$\left(4x+3\right)\left(6x+5\right)$$

Løsningstrinn

Faktor iser uttrykket ved å gruppere. Først må uttrykket omskrives som 24x^{2}+ax+bx+15. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=38 ab=24\times 15=360$$

Siden ab er positiv, a og b har samme fortegn. Siden a+b er positiv, er a og b positive. Vis alle slike hel talls par som gir produkt 360.

$$1,360 2,180 3,120 4,90 5,72 6,60 8,45 9,40 10,36 12,30 15,24 18,20$$

Beregn summen for hvert par.

$$1+360=361 2+180=182 3+120=123 4+90=94 5+72=77 6+60=66 8+45=53 9+40=49 10+36=46 12+30=42 15+24=39 18+20=38$$

Løsningen er paret som gir Summer 38.

$$a=18 b=20$$

Skriv om 24x^{2}+38x+15 som \left(24x^{2}+18x\right)+\left(20x+15\right).

$$\left(24x^{2}+18x\right)+\left(20x+15\right)$$

Faktor ut 6x i den første og 5 i den andre gruppen.

$$6x\left(4x+3\right)+5\left(4x+3\right)$$

Faktorer ut det felles leddet 4x+3 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(4x+3\right)\left(6x+5\right)$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Kvadratisk ligning for polynom kan faktoriseres ved hjelp av transformasjonen ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), der x_{1} og x_{2} er løsningene for den kvadratiske ligningen ax^{2}+bx+c=0.

$$24x^{2}+38x+15=0$$

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$x=\frac{-38±\sqrt{38^{2}-4\times 24\times 15}}{2\times 24}$$

Kvadrer 38.

$$x=\frac{-38±\sqrt{1444-4\times 24\times 15}}{2\times 24}$$

Multipliser -4 ganger 24.

$$x=\frac{-38±\sqrt{1444-96\times 15}}{2\times 24}$$

Multipliser -96 ganger 15.

$$x=\frac{-38±\sqrt{1444-1440}}{2\times 24}$$

Legg sammen 1444 og -1440.

$$x=\frac{-38±\sqrt{4}}{2\times 24}$$

Ta kvadratroten av 4.

$$x=\frac{-38±2}{2\times 24}$$

Multipliser 2 ganger 24.

$$x=\frac{-38±2}{48}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-38±2}{48} når ± er pluss. Legg sammen -38 og 2.

$$x=-\frac{36}{48}$$

Forkort brøken \frac{-36}{48} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 12.

$$x=-\frac{3}{4}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-38±2}{48} når ± er minus. Trekk fra 2 fra -38.

$$x=-\frac{40}{48}$$

Forkort brøken \frac{-40}{48} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 8.

$$x=-\frac{5}{6}$$

Faktoriser det opprinnelige uttrykket ved hjelp av ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Erstatt -\frac{3}{4} med x_{1} og -\frac{5}{6} med x_{2}.

$$24x^{2}+38x+15=24\left(x-\left(-\frac{3}{4}\right)\right)\left(x-\left(-\frac{5}{6}\right)\right)$$

Forenkle alle uttrykkene i formelen fra p-\left(-q\right)til p+q.

$$24x^{2}+38x+15=24\left(x+\frac{3}{4}\right)\left(x+\frac{5}{6}\right)$$

Legg sammen \frac{3}{4} og x ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$24x^{2}+38x+15=24\times \frac{4x+3}{4}\left(x+\frac{5}{6}\right)$$

Legg sammen \frac{5}{6} og x ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$24x^{2}+38x+15=24\times \frac{4x+3}{4}\times \frac{6x+5}{6}$$

Multipliser \frac{4x+3}{4} med \frac{6x+5}{6} ved å multiplisere teller ganger teller og nevner ganger nevner. Forkort deretter brøken om mulig.

$$24x^{2}+38x+15=24\times \frac{\left(4x+3\right)\left(6x+5\right)}{4\times 6}$$

Multipliser 4 ganger 6.

$$24x^{2}+38x+15=24\times \frac{\left(4x+3\right)\left(6x+5\right)}{24}$$

Opphev den største felles faktoren 24 i 24 og 24.

$$24x^{2}+38x+15=\left(4x+3\right)\left(6x+5\right)$$

Evaluer

$$\left(4x+3\right)\left(6x+5\right)$$