Løs 24k^2+50k+24=0

$$24 { k }^{ 2 } +50k+24 = 0$$

Løs for k

$$k = -\frac{4}{3} = -1\frac{1}{3} \approx -1,333333333$$

$$k=-\frac{3}{4}=-0,75$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

Del begge sidene på 2.

$$12k^{2}+25k+12=0$$

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som 12k^{2}+ak+bk+12. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=25 ab=12\times 12=144$$

Siden ab er positiv, a og b har samme fortegn. Siden a+b er positiv, er a og b positive. Vis alle slike hel talls par som gir produkt 144.

$$1,144 2,72 3,48 4,36 6,24 8,18 9,16 12,12$$

Beregn summen for hvert par.

$$1+144=145 2+72=74 3+48=51 4+36=40 6+24=30 8+18=26 9+16=25 12+12=24$$

Løsningen er paret som gir Summer 25.

$$a=9 b=16$$

Skriv om 12k^{2}+25k+12 som \left(12k^{2}+9k\right)+\left(16k+12\right).

$$\left(12k^{2}+9k\right)+\left(16k+12\right)$$

Faktor ut 3k i den første og 4 i den andre gruppen.

$$3k\left(4k+3\right)+4\left(4k+3\right)$$

Faktorer ut det felles leddet 4k+3 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(4k+3\right)\left(3k+4\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse 4k+3=0 og 3k+4=0.

$$k=-\frac{3}{4} k=-\frac{4}{3}$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$24k^{2}+50k+24=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 24 for a, 50 for b og 24 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$k=\frac{-50±\sqrt{50^{2}-4\times 24\times 24}}{2\times 24}$$

Kvadrer 50.

$$k=\frac{-50±\sqrt{2500-4\times 24\times 24}}{2\times 24}$$

Multipliser -4 ganger 24.

$$k=\frac{-50±\sqrt{2500-96\times 24}}{2\times 24}$$

Multipliser -96 ganger 24.

$$k=\frac{-50±\sqrt{2500-2304}}{2\times 24}$$

Legg sammen 2500 og -2304.

$$k=\frac{-50±\sqrt{196}}{2\times 24}$$

Ta kvadratroten av 196.

$$k=\frac{-50±14}{2\times 24}$$

Multipliser 2 ganger 24.

$$k=\frac{-50±14}{48}$$

Nå kan du løse formelen k=\frac{-50±14}{48} når ± er pluss. Legg sammen -50 og 14.

$$k=-\frac{36}{48}$$

Forkort brøken \frac{-36}{48} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 12.

$$k=-\frac{3}{4}$$

Nå kan du løse formelen k=\frac{-50±14}{48} når ± er minus. Trekk fra 14 fra -50.

$$k=-\frac{64}{48}$$

Forkort brøken \frac{-64}{48} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 16.

$$k=-\frac{4}{3}$$

Ligningen er nå løst.

$$k=-\frac{3}{4} k=-\frac{4}{3}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$24k^{2}+50k+24=0$$

Trekk fra 24 fra begge sider av ligningen.

$$24k^{2}+50k+24-24=-24$$

Når du trekker fra 24 fra seg selv har du 0 igjen.

$$24k^{2}+50k=-24$$

Del begge sidene på 24.

$$\frac{24k^{2}+50k}{24}=-\frac{24}{24}$$

Hvis du deler på 24, gjør du om gangingen med 24.

$$k^{2}+\frac{50}{24}k=-\frac{24}{24}$$

Forkort brøken \frac{50}{24} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 2.

$$k^{2}+\frac{25}{12}k=-\frac{24}{24}$$

Del -24 på 24.

$$k^{2}+\frac{25}{12}k=-1$$

Del \frac{25}{12}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få \frac{25}{24}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av \frac{25}{24} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$k^{2}+\frac{25}{12}k+\left(\frac{25}{24}\right)^{2}=-1+\left(\frac{25}{24}\right)^{2}$$

Kvadrer \frac{25}{24} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$k^{2}+\frac{25}{12}k+\frac{625}{576}=-1+\frac{625}{576}$$

Legg sammen -1 og \frac{625}{576}.

$$k^{2}+\frac{25}{12}k+\frac{625}{576}=\frac{49}{576}$$

Faktoriser k^{2}+\frac{25}{12}k+\frac{625}{576}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(k+\frac{25}{24}\right)^{2}=\frac{49}{576}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(k+\frac{25}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{576}}$$

Forenkle.

$$k+\frac{25}{24}=\frac{7}{24} k+\frac{25}{24}=-\frac{7}{24}$$

Trekk fra \frac{25}{24} fra begge sider av ligningen.

$$k=-\frac{3}{4} k=-\frac{4}{3}$$